24. Изображения пространственных фигур в параллельной проекции.

Теорема Польке-Шварца. Вершины произвольного четырёхугольника ABCD в плоскости изображений  могут служить изображением аффинного репера, равного данному реперу R ; ¯ = {A; ¯, B; ¯, C; ¯, D; ¯}.

Равносильная формулировка. Каков бы ни был четырёхугольник ABCD и аффинный репер R ; ¯ = {A; ¯, B; ¯, C; ¯, D; ¯}, существует такая плоскость , что проекция репера R ; ¯ на эту плоскость подобна ABCD.

Идея доказательства. Вершины репера можно рассматривать в качестве вершин тетраэдра (треугольной пирамиды). Пусть E – точка пересечения диагоналей в ABCD. Выберем на ребре A; ¯C; ¯ точку E1;¯, такую что

(A; ¯C; ¯,E1;¯)=(AC, E). Выберем на ребре B; ¯D; ¯ точку E2;¯, такую что (B; ¯D; ¯, E2;¯)= =(BD, E). Выберем теперь направление проецирования параллельно отрезку E1;¯E2;¯. Тогда точки E1;¯ и E2;¯ проецируются в одну точку E_o, и проекцией репера R ; ¯ будет четырёхугольник A_oB_oC_oD_o, аффинно-эквивалентный ABCD. Но нам нужно получить четырёхугольник не просто аффинно-эквивалентный, а подобный. Поэтому, возможно, понадобиться данный репер в пространстве повернуть. Таким образом,

полное доказательство значительно сложнее.

1. Из теоремы Польке-Шварца следует, что в качестве изображения вершин тетраэдра можно выбрать вершины любого четырёхугольника. Если для наглядности невидимые линии изобразить пунктиром, то получатся следующие возможные варианты.

2. Каждая из граней параллелепипеда изображается параллелограммом. При этом, противоположные грани изображаются равными параллелограммами. Поэтому изображение параллелепипеда состоит из трёх пар параллелограммов, причём параллелограммы в каждой паре получаются друг из друга параллельным переносом.

Согласно теореме Польке-Шварца, мы можем в качестве изображения трёх вершин нижнего основания и одной вершины верхнего основания выбрать вершины произвольного четырёхугольника (например, ABDA).

Затем, изображения остальных вершин можно достроить однозначно.

3. Изображение n-угольной призмы состоит из двух одинаковых n-угольников, которые получаются друг из друга параллельным переносом, и n параллелограммов. В качестве изображения трёх вершин нижнего основания и одной вершины верхнего основания мы можем выбрать вершины произвольного четырёхугольника (на чертеже мы эти точки выделили). После этого остальные вершины достраиваются однозначно.

4. Изображение n-угольной пирамиды состоит из многоугольника, изображающего основание и треугольников с общей вершиной, изображающих боковые грани. Согласно теореме Польке-Шварца, мы можем в качестве изображения трёх вершин нижнего основания и одной вершины верхнего основания выбрать любые 4 точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Остальные вершины основания стоятся по правилам построения изображений плоских многоугольников.

Если пирамида является правильной, то принято ещё изображать высоту, падающую в центр основания.

Изображение цилиндра и конуса..

1. Пусть цилиндр-оригинал F; ¯ расположен так, что его ось O; ¯O1;¯ параллельна плоскости изображений . Направление проецирования выберем следующим образом. Через ось цилиндра проведём плоскость  и выберем направление проецирования параллельно этой плоскости, но не параллельно основаниям цилиндра (иначе изображение будет выглядеть, как прямоугольник, и не будет наглядным).

Пусть ;¯ – окружность верхнего основания цилиндра, A; ¯B; ¯ и C; ¯D; ¯ – взаимно перпендикулярные диаметры этой окружности, причём A; ¯B; ¯ ||, C; ¯D; ¯. Тогда C; ¯D; ¯. Проведём образующие A; ¯A1;¯, B; ¯B1;¯, которые будем называть контурными. Пусть l1;¯ и l2;¯ – касательные к окружности ;¯ в точках A; ¯ и B; ¯. При проецировании окружность ;¯ переходит в эллипс  с осями AB и CD. Отрезок A; ¯A1;¯ и прямая l1;¯ лежат в плоскости, параллельной направлению проецирования, поэтому они проецируются на одну прямую l₁. При этом, прямая l1;¯ была касательной к ;¯. Следовательно, изображение AA₁ контурной образующей лежит на каса­тельной к эллипсу . Аналогично ВВ₁ тоже лежит на касательной к эллипсу .

Дополнительно потребуем, чтобы угол между вектором p;\s\up8( и осью цилиндра был больше 45. Тогда на изображении будет |AB|>|CD|. Итак, мы окончательно имеем следующее изображение.

2. Выберем плоскость изображения  параллельно оси S; ¯O; ¯ данного конуса ; ¯. Пусть  – плоскость основания конуса, а  – плоскость, проходящая через ось цилиндра, перпендикулярно . Направление прое­цирования выберем следующим образом. Через вершину S; ¯ проведём прямую l;¯ в плоскости , так чтобы она пересекала плоскость  в точке K; ¯, расположенной вне основания конуса, и так чтобы угол между высотой S; ¯O; ¯ и прямой l;¯ был больше 45. Теперь выберем направление проецирования параллельно l;¯.

Пусть ;¯ – окружность основания конуса, A; ¯B; ¯ и C; ¯D; ¯ – взаимно перпендикулярные диаметры этой окружности, причём A; ¯B; ¯ ||, C; ¯D; ¯. Тогда C; ¯D; ¯. Проведём касательные K; ¯M; ¯, K; ¯N; ¯ к ;¯. Образующие S; ¯M; ¯ и S; ¯N; ¯ назовём контурными.

При проецировании окружность ;¯ переходит в эллипс  с осями AB и CD. Прямые S; ¯O; ¯ и C; ¯D; ¯ лежат в плоскости  параллельной направлению проецирования, поэтому S; ¯O; ¯ и C; ¯D; ¯ проецируются на одну прямую. Точки S; ¯ и K; ¯ проецируются в одну точку, поэтому проекции отрезков K; ¯M; ¯ и S; ¯M; ¯ совпадают. Значит, изображение SM контурной образующей будет касательной к . Аналогично, SN – тоже касательная. Хорда M; ¯N; ¯ параллельна A; ¯B; ¯. Поэтому и на изображении MN||AB.

Самое главное, что следует уяснить: изображения контурных образующих ни в коем случае не проходят через концы главного диаметра эллипса.

Изображение шара.

1. Если дано изображение экватора , мы можем однозначно определить, где располагаются точки N и S, изображающие полюсы. Пусть AB – большой диаметр для , CD – малый диаметр. Проведём через точку C половину хорды CK параллельно AB. На перпендикуляре к AB, проходящем через точку O отложим отрезки ON и OS, равные CK.

2. Если дано изображение полюсов N и S, мы можем построить изображение экватора. Большой диаметр изображения экватора – это диаметр очертания шара, перпендикулярный NS. Малый диаметр CD лежит на прямой NS. Проведём через точку N – половину хорды NM. Тогда |OC|=|OD|=|NM|.

Ещё раз подчеркнём, что полюсы лежат на очертании шара тогда и только тогда, когда экватор изображается отрезком.

При построении изображения шара вместе с декартовой СК следует учесть, что оси Ox и Oy должны проходить через сопряжённые диаметры экватора, а ось Oz – через полюс. Если у нас уже изображена ось Ox, мы проводим вспомогательную хорду изображения экватора, параллельную Ox, и через середину хорды должна проходить Oy.