Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Российская таможенная академия»

Кафедра таможенной статистики

Конспект лекции № 5

на тему: Общие сведения о временных рядах и концепциях их моделирования. Декомпозиционнные модели временных рядов.

Дисциплина: Эконометрика Москва

2010

и

ПЛАН

1. Понятие, классификация и характеристика временных рядов.

2. Свойства стационарных временных рядов. Белый шум.

3. Алгоритмический и аналитический подходы к моделированию систематической составляющей временного ряда.

4. Моделирование тенденции временного ряда на основе аналитического выравнивания.

5. Моделирование сезонных и циклических колебаний с помощью методов сезонной корректировки (методы классической декомпозиции).

Учебные вопросы

1. Понятие, классификация и характеристика временных рядов.

Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов , которые условно можно подразделить на три группы:

– факторы, формирующие тенденцию ряда;

– факторы, формирующие циклические колебания ряда;

– случайные факторы.

При различных сочетаниях этих факторов в изучаемом процессе или явлении зависимость уровней ряда от времени может быть различной. Во-первых, большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Очевидно, что эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель, однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию.

Во-вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, т.к. экономическая деятельность ряда отраслей экономики зависит от времени года (цены на сельхозпродукцию летом ниже, чем зимой; уровень безработицы в курортных городах зимой выще, чем летом). При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка, а также с фазой бизнес-цикла, в которой находится экономика страны.

Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты.

Очевидно, что реальные данные содержат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты.

В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда.

Основная задача эконометрического исследования отдельного временного ряда – выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.

Последовательность значений X(t) представляет собой значения случайной величины Х(t), а семейство таких случайных величин представляет собой случайный процесс.

Основными характеристиками случайного процесса являются:

математическое ожидание;

дисперсия;

автокорреляционная функция.

В каждый момент времени t случайный процесс может иметь ряд значений, образующих вектор значений процесса Х(t)

(1)

где k – число реализаций этого процесса.

Вектор X(t) называется сечением процесса X(t) в момент времени t. Сечение процесса – случайная величина.

Математическое ожидание процесса есть неслучайная функция

(2)

Дисперсией случайного процесса называют неслучайную функцию

D_x(t) = MX(t) – m_x(t) ² (3)

Автокорреляционная функция (АКФ)

АКФ является коэффициентом корреляции между двумя сечениями процесса Х(t₁) и Х(t₂). Поэтому |(t₁,t₂)| ≤ 1, причем (t₁,t₁) = (t₂,t₂) = 1.

Случайные процессы делятся на стационарные и нестационарные. Для стационарного процесса математическое ожидание и дисперсия должны быть постоянными величинами, а АКФ должна зависеть только от расстояния между значениями аргументов t₁ и t₂, а не от места расположения этих значений.

Чтобы найти АКФ, вычисляют коэффициенты корреляции r_i между рядами Х(t); t = i, i+1,…, n и X(t-i); t = 1, 2, … , n-i.

Значения r_i , нанесенные на плоскость с осями i и r и соединенные ломаной, называют коррелограммой.

Запишем рабочую формулу для расчета r_i .

Пусть

тогда

После упрощений получаем

В случае запаздывания на l шагов по времени имеем

Заметим, что с увеличением запаздывания l объем выборки, по которой вычисляется r_l, уменьшается и равен n – l. При небольших n это приведет к тому, что лишь большие по абсолютной величине значения r_l будут значимыми (например, при n =12 и уровне значимости α = 0,05 только r₁ > 0,576 оказывается значимым). Поэтому запаздывания l берут такими, чтобы

n – l было достаточно велико для вычисления значимых r_l . На практике обычно берут l ≤ n/4.

После вычисления r_l чертится коррелограмма и проводится ее анализ. Интерпретация коррелограмм требует определенного навыка и не всегда легко осуществима.

Для полностью случайного ряда (белого шума) наблюдаются незначимые, малые значения r_l , близкие к нулю.