Государственное казенное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Российская таможенная академия»

кафедра таможенной статистики

(название кафедры)

УТВЕРЖДАЮ

И.о. декана экономического

факультета

__________В.Н.Гомзякова

13. 10. 2014 г._________

ПЛАН

чтения лекции № 5

по дисциплине математика__

Тема 2.1. Элементы теории множеств. Функция одной переменной.

Предел и непрерывность функции

Цель занятия: ознакомление студентов с элементами теории множеств, свойствами функции одной переменной, понятием предела функции

Литература по теме:

а) основная __1. Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. В.И. Ермакова. – М., 2011.

2. Кремер Н.Ш. Математика для экономистов. М.:ЮНИТИ- ДАНА. 2008.

№№ п.п.	Содержание занятия	Отводимое учебное время, мин.	Применяемые наглядные пособия и ТСО
1 2	Организационная часть - проверить наличие студентов* Вводная часть (вступительное слово) - кратко напомнить материал предыдущего занятия; - объявить тему лекции; - довести учебные вопросы; - определить место темы в учебном курсе, указать связь с предыдущими темами и междисциплинарные связи; - отметить актуальность темы и ее практическое значение; - довести цель занятия; - сообщить литературные источники по теме занятия.	3 3
3	Основная часть (учебные вопросы) Излагаются вопросы (проблемы), изучаемые на лекции 1. Понятие множества. Операции над множествами. 2. Функция одной переменной. 3. Числовая последовательность и ее предел.. Понятие предела функции. 4. Основные теоремы о пределах функций.	20 30 20 10	Power Point
4	Заключительная часть - сделать выводы по теме лекции; - ответить на вопросы студентов; - дать задание на самостоятельную работу; - объявить тему следующего занятия.	4

Преподаватель: _доцент Ширкунова Н.В.

(должность, подпись, инициалы, фамилия)

13. 10 2014 г.

Государственное казенное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Российская таможенная академия»

Кафедра таможенной статистики

УТВЕРЖДАЮ

И.о. декана экономического

факультета

__________В.Н.Гомзякова

13. 10. 2014 г._________

ЛЕКЦИЯ № 5

Тема 2.1. Элементы теории множеств. Функция одной переменной.

Предел и непрерывность функции

Дисциплина: Математика

Автор: к.э.н., доцент Ширкунова Н.В.

Москва

2014

Элементы теории множеств. Функция одной переменной

ПЛАН ЛЕКЦИИ

Введение

Учебные вопросы:

1. Понятие множества. Операции над множествами.

2. Функция одной переменной.

3. Числовая последовательность и ее предел.. Понятие предела функции.

4. Основные теоремы о пределах функций.

Заключение

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЛЕКЦИИ

Основная литература

1. Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. В.И. Ермакова. – М., 2011.

2. Кремер Н.Ш. Математика для экономистов. М.:ЮНИТИ- ДАНА. 2009.

Перечень средств обучения

1. Презентации.

1. Понятие множества. Операции над множествами.

Определение. Множеством М называется совокупность объектов объединенных по определенному признаку.

Определение. Объекты, составляющие множество, называются его элементами.

а  М

Множество можно описать, указав какое – нибудь свойство, присущее всем элементам этого множества.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается .

Определение. Если все элементы множества А являются также элементами множества В, то говорят, что множество А включается (содержится) в множестве В.

А

В

А  В

Определение. Если А  В, то множество А называется подмножеством множества В, а если при этом А  В, то множество А называется собственным подмножеством множества В и обозначается А  В.

Для трех множеств А, В, С справедливы следующие соотношения.

Связь между включением и равенством множеств устанавливается следующим соотношением:

Здесь знак  обозначает конъюнкцию (логическое “и”).

Операции над множествами.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств А и В.

Обозначается С = А  В.

А

В

Геометрическое изображение множеств в виде области на плоскости называется диаграммой Эйлера – Венна.

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат каждому из множеств А и В.

Обозначение С = А  В.

А С В

Определение. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

Обозначается С = А \ В.

А В

Определение. С_Е называется дополнением множества А относительно множества Е, если А  Е и C_Е = Е \ A.

A E

2. Функция одной переменной.

Определение: Переменной у называется функцией от переменной х, если каждому значению х из некоторого промежутка Х по определенному закону или правилу ставится в соответствие одно или несколько значение у из промежутка У.

Функция может быть однозначно определенной.

Если каждому значению х из множества Х ставится несколько значений у из множества У, то функция называется многозначной.

При этом переменная х называется независимой переменной или аргументом, а переменная у – зависимой переменной или функцией.

Множество значений, принимаемых переменной х, называется областью определения функции, а множество значений принимаемых переменной у называется областью значения функции.

Для того, чтобы обозначить этот факт, что переменная у есть функция переменной х, пишут:

Буквы f, y, F – используются для обозначения закона соответствия между аргументом х и функцией у. Иногда закон соответствия и результат соответствия обозначают одной и той же буквой: у= у(х).

Запись обозначает, берется частное значение функцииf(x) при

Если При х=2 мы имеем частное значение функцииДля наглядного представления изменения функции в зависимости от изменения аргумента часто пользуются графическим изображением функции.

Рассмотрим на плоскости прямоугольную декартову систему координат ХОУ. Для каждой точки построим на плоскости точкус координатамиСовокупность всех точек представляет собой график функцииу=f(x) и служит для ее геометрической иллюстрации.

Определение: Графиком функции у=f(х) на плоскости ХОУ называется геометрическое место точек плоскости с координатами (х, f(x)), где переменная х принимает все значения из области определения функции.

Способы задания функций:

Согласно определению, функция считается заданной, если задано множество значений, принимаемых независимой переменной, и задано правило, устанавливающее соответствие между значениями независимой и зависимой переменной переменных. При этом никаких ограничений на характер этого соответствия не накладывается.

А) Аналетическийспособ

Функция преимущественно задается с помощью формулы, указывающей, какие действия надо провести над аргументом, чтобы получить соответствующее значение функции. Такая формула называется аналитическим выражением функции.

Поверхность шара S есть функция его радиуса R. Ее аналитическое выражение

В частности, функция может быть задана и с помощью нескольких формул (разные формулы на разных частях области определения).

Б) Табличный способ.

Иногда приходиться встречаться с переменными величинами, зависимость между которыми устанавливается опытным путем. На основании данных устанавливаются таблицы, в которых содержаться значения функций, соответствующие различным значениям значений аргумента. Примеры табличного задания функции можно найти в любом техническом справочнике.

В) Графический способ.

Функция называется заданной графически, если начерчен ее график.

Г) Словесный способ.

Функция описывается правилом ее составления. Функция Дирихле. F(x)=0 иррациональных значений х и равно F(x)=1 единице для всех рациональных значений х.

Рассмотрим основные свойства функции.

Ограниченность.

Определение. Функция у=f(x) называется ограниченной на множестве Х, принадлежащим области определения функции, если найдутся такие числа А и В, что

Функцию, ограниченную на всем множестве определения будем называть ограниченной функцией. Для того чтобы, функция y=f(x) была ограничена на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы существовало число М>0, для всех выполнялось условие.

1. y=sin x – ограниченная функция, т.к. на всем множестве ее определение

2) ограниченная нано эта функция не ограничена на всей области определеният.к. какое бы числомы не взяли, будет

Монотонные функции

Определение. Функция у=f(x) называется неубывающей на множестве Х, принадлежащей области определения функции, если для любых точек из этого множества, удовлетворяющих соотношениювыполнено неравенство

Определение. Функция у=f(х) называется возрастающей на множестве Х, принадлежащем области определения функции, если для любых точек из этого множества, удовлетворяющих соотношениювыполнено неравенство

Определение. Функция называется невозрастающей на множестве области определения функции, если для любых двух точек удовлетворяющих условиювыполнено неравенство

Функции неубывающие или невозрастающие называются монотонными, а убывающие и возрастающие строго монотонные.

3. Периодичность.

Определение. Функция называется периодической с периодом Т, где Т не равен нулю, если для любых х из области определения выполнено следующее условие: , гдех+Т также принадлежит области определения.

Вместе с Т периодом являются числа nТ Поэтому обычно за период принимают наименьшее положительное число Т.

Пример.

1)

2) - дробная часть числа. Т.е.

4.Четность и нечетность.

Определение. Функция называется четной, если для любых значений х из области определения выполняется условие

Определение. Функция у=f(x) называется нечетной если для значений х из области определения выполняется условие .

Любой многочлен, содержащий лишь четные степени аргумента х, есть четная функция.

Задание. Доказать, что четная функция.

Понятие обратной функции.

- монотонна на области определения. Пусть функция определена в некоторой области Х с областью значения У. Возьмем какое-нибудь значениеВ области определения найдется одно значение,для которых функция принимает значение аргумента, т.е.

Определение. Функция называется обратной для функции, если каждому значению переменнойу области значения функции ставят в соответствие по определенному закону одно значениех. Область определения обратной функции является областью изменения данной функции.

Пример: 1) область определенияОбласть значения

Ее область определения , а область значения.

2) , определена в промежуткеОбласть значенияДля того чтобы построить обратную функцию, необходимо область определения разбить на промежутки, где функция строго монотонна.

1)

2)

Используя понятие однозначной и многозначной функции необходимо отметить, что функция однозначная - - двузначная.

Функция, которая имеет обратную называется обратимой. Для любой строго монотонной функции у=f(x) существует обратная функция. Рассмотрим вопрос о графике обратной функции. Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой у=х .

Если у обратной функции, так же как и у данной, аргумент обозначить через х, а значение функции через у, то она запишется в виде

Функции различаются только обозначениями. Поэтому, чтобы из графика функции(или, что тоже самоеполучить график функции, достаточно поменять оси ОХ и ОУ, т.е. повернуть плоскость на 180⁰.

Таким образом, график обратной функции симметричен графику данной функцииотносительно биссектрисыу=х.

Сложная функция.

Определение. Если на некотором промежутке Х определена функцияс множествомU на множествеU определена функция , то функцияназывается сложной функцией отх, а переменная и – промежуточная переменная сложной функции.

Пример: сложная

внутренняя : - внешняя.

Неявная функция.

Существует два способа задания функции: явный и неявный.

Определение. Функция называется явной, если она задана формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной .

Определение. Функция называется неявно заданной, если она задана уравнением, не разрешенным относительно зависимой переменной у, т.е. имеет вид .

Функция задана посредством уравнения.

1)

2)