Лекция №3

Множественная регрессия. Мультиколлинеарность данных

Множественной регрессией называют уравнение связи с несколькими независимыми переменными:

(3.1)

Переменная у называется зависимой, объясняемой или результативным признаком.– независимые, объясняющие переменные или факторные признаки (факторы).

Соответствующая регрессионная модель имеет вид

, (3.2)

где ε -ошибка модели, являющаяся случайной величиной.

Множественная регрессия применяется в ситуациях, когда из множества факторов, влияющих на результативный признак, нельзя выделить один доминирующий фактор и необходимо учитывать влияние нескольких факторов. Например, объем выпуска продукции определяется величиной основных и оборотных средств, численностью персонала, уровнем менеджмента и т. д., уровень спроса зависит не только от цены, но и от имеющихся у населения денежных средств.

Основная цель множественной регрессии – построить модель с несколькими факторами и определить при этом влияние каждого фактора в отдельности, а также их совместное воздействие на изучаемый показатель.

Постановка задачи множественной регрессии: по имеющимся данным n наблюдений (табл. 3.1) за совместным изменениемp+1 параметраy и и (();i=1, 2, ...,n;j=1, 2, …,p) необходимо определить аналитическую зависимость, наилучшим образом описывающую данные наблюдений.

Таблица 3.1

Результаты наблюдений

				…
1				…
2				…
…	…	…	…	…	…
n				…

Каждая строка таблицы содержит p +1 число и представляет собой результат одного наблюдения. Наблюдения различаются условиями их проведения. Вопрос о том, какую зависимость следует считать наилучшей, решается на основе какого-либо критерия. В качестве такого критерия обычно используется минимум суммы квадратов отклонений расчетных или модельных значений результативного показателяот наблюдаемых значений

Построение уравнения множественной регрессии предполагает решение двух задач:

1) спецификация модели;

2) оценка параметров выбранной модели.

В свою очередь, и спецификация модели включает в себя решение двух задач:

– отбор p факторовxj, подлежащих включению в модель;

– выбор вида аналитической зависимости .

Для измерения степени тесноты связи между изменениями величины результативного признака (у) и изменениями значений факторных признаков определяется коэффициент множественной (совокупной) корреляции (R). Для случая зависимости результативного признака от двух факторных признаков формула совокупного коэффициента корреляции имеет вид:

(3.3)

Если число факторов-признаков более двух, то совокупный

коэффициент корреляции определяется следующим образом:

(3.4)

где — матрица парных коэффициентов корреляции (см. табл. 3.1);

—соответствует матрице парных коэффициентов корреляции () без верхней строки и первого столбца.

Величина называется коэффициентом детерминации, она показывает, в какой мере вариация результативного признака обусловлена влиянием признаков-факторов, включенных в уравнение множественной зависимости.

Величина совокупного коэффициента корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и численно не может быть меньше, чем любой из образующих его парных коэффициентов корреляции. Чем ближе он к единице, тем меньше роль неучтенных в модели факторов и тем более оснований считать, что параметры регрессионной модели отражают степень эффективности включенных в нее факторов.

Для оценки существенности (значимости) совокупного коэффициента корреляции используется критерий F-Фишера.

Для этого по формуле (7.43) определяется F-расчетное, которое сравнивается с табличным значением при заданном уровне значимости (например,). Если,то с вероятностью 0,95 можно утверждать, что связь между результативным и факторными признаками существенна.