15. Дискретные случайные величины. Закон распределения вероятностей. Функция распределения вероятностей.

Если результатом эксперимента является некая величина, наперед неизвестная, и не зависящая от его условий, то ее называют случайной.

Случайной величиной X назовем действительную функцию, определенную на множестве элементарных исходов Ω, такую, что для всех действительных значений Х множество ω элементарных исходов, удовлетворяющих принадлежит алгебра событий данного эксперимента.

Закон распределения или функция распределения случ. величины X.

Такой функцией назовем

;

- алгебра событий данного элемента.

Свойства:

1. Область определения функции ;

2. Множество значений ;

3. невозможное событие, т.к. . ;

4. Функция распределения – неубывающая.

Доказательство 3 св-ва:

Это приращение всегда не это подтверждает 4 свойство.

5. - приращение функции распределения.

16. Основные типы распределения дискретных случайных величин.

Случайную величину называют дискретной, если множество ее значений конечно или счетно.

1. Биномиальное:

Пусть проводится n независимых испытаний по схеме Бернулли ( и случ. величина число появления события в этих независимых испытаниях.

2. Геометрическое:

Пусть проводится испытание до появления события. Пусть число испытаний до появления события.

3. Пуассона:

4. Гипергеометрическое:

Пусть N – объем генеральной совокупности. M – число объектов. n – объем выборочной совокупности. X=m – случ. величина, распределенная по гипергеометрическому закону.

17. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения случайных величин. Свойства.

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функцию распределения можно представить в виде:

предполагается, что он сходится. плотность распределения.

Свойства

1.

2.

3. в точках непрерывности f.

4.

5.

18. Равномерное распределение. (граф)

Случайная величина Х распределяется равномерно на отрезках

Расчитаем ф-ию распр-я случ. величины Х:

19. Нормальное распределение. (график)

Случ. величина Х распределена по нормальному закону, если ее плотность распределения:

20. Показательное распределение. (граф)

Х распределена по показательному закону, если ее плотность распределения следующая:

21. Математическое ожидание случайных величин. Его свойства.

мат-е ожидание.

– возможное значение случ. вел-ны.

– соответствующая вероятность появления этой случайной величины.

Свойства:

1. МО постоянной величины равно этой постоянной:

2. Постоянный множитель можно выносить за символ МО:

3. МО суммы случ. в. равно сумме их МО:

;

4. МО произведения независимых случайных величин равно произведению их МО:

5. Если все значения случайной величины уменьшить (увеличить) на одно и то же число , то МО ее уменьшится (увеличится) на то же число:

22, 24. Математическое ожидание и дисперсия основных типов дискретных случайных величин.

1. Биномиальное:

n – число испытаний.

2. Геометрическое:

3. Пуассона:

– число переменных.

4. Гипергеометрическое: