22 Замена переменной в опред интегр.

З амена переем: Пусть дана у=в(х) на пром [a,b], х=(t) непрер и диффер на [,]; ()=a, ()=b То Док-во:

п о частям:

Д ок-во:

23 Приложен опред интегр. Нахожд V тела.

1 )Вычисл площ Пусть дана обл, оганич сверху y=f₂(x) и снузу y=f₁(x), x=a, x=b:

2 )Выч объма по S сечен: a,b- концы проекц тела на Ох. A=x0x1x2...x_n=b. s(c1), S(с) -площ попер сеч. S(c1)x1=V1-объем цилиндр тела с площ основания S(c1) и высотой x1.Sn=S(c1)x1+…+S(Cn) )Xn-объем составного цилиндрич тела. Объем данного тела:

Так обр: объем- интеграл от поперечных сечен

3 )V тела вращ: Криволин трапец вращается вокруг Оч, получ тело вращен. Получаемое сечен – круг. r=f(x), S(x)=f²(x)

2 4 численные методы интегрирован. Разоб отрез а-в на n-равн част. H=x1-x0=x2-x1=...=(b-a)\n Y_i=f(x_i) Ф-ла Лев прямоугольников:

Ф -ла Прав прямоугольников:

П ри увеличении nточность формул возрастает. Ф-ла трапеций

П усть I-точное знач инт, In-приближ знач инт In-I}=- абсолютная ошибка

Д ля трап:  где

Д ля прямоуг:  где

25.Несобственные интегралы

Это опред.интеграл от непрер.ф-ции,но с бескон.промежутком интегрирования иои опред.интеграл с конеч.промеж.интегрирования,но от ф-ции,имеющей на нем бесконечный разрыв.

1)Интеграл по неогранич.обл-ти (бескон.промежутку) - ф-ция непрер. на [а; ).Возьмем на этом промежутке число b. - интегралом от а до наз-ся lim..,где верхний предел стремится к бесконечности. Если предел сущ-ет,интеграл наз-ся сходящимся, в прот.случае расходящимся.

2 ) Интегралы по неограниченным областям

f(x) + ;x b-0

- Выбирая Сn,близкое к b,знач-е интегр.суммы будет сколь угодно большое.Знач.,не будет lim.Выберем точку C и рассм.Sn: . Если lim сущ-ет,то предел наз-ся сходящимся.

26.Общая схема построения опред.интеграла.Двойной интеграл и его cв-ва. 1) а) Дана ограниче.обл-ть: y=f2(x) сверху,y=f1(x) cнизу. x=a,x=b. Найти площадь фигуры-это площадь разности 2 площадей.

б)Вычисление объема тела по площадям поперечных сечений.

S (x)-площадь попереч.сечения пл-ти х. a,b-концы проекции тела на ОХ. Разобьем [a,b] на n-частей,в кажд.части возьмем по точке(с1,с2…сn). . Тогда S(c1)…S(cn)-площади поперечного сечения в соответ.точках. S(c1) x1= V1-объем цилиндрического тела с площадью основания S(c1) и высотой х1. Sn=S(c1) x1+…+S(cn) xn-объем составной цилиндрической фигуры. Объем-это интеграл от поперечных сечений 2) Дана пластина D(обл-ть на пл-ти). -плотность пластины в точке М. , где m-масса пластины.Найти массу пластины обл-ти D. Разобьем пластину линиями,парал.осям координат. Di-части; D1…Dn; в кажд.части берем по точке. * S1 m1, где S1-площадь части - приближ.знач-е массы пластины D. Переходя к пределам,получим точное знач-е: Двойным интегралом от dS наз-ся предел интегр.суммы Масса пластины-двойной интеграл от по обл-ти D:

Cв-ва:1.св-во линейности: а) -однородность; б) -адитивность. Теор.существования :Если подынтегр.ф-ция непрер.на замкн.огранич.обл-ти D,то она интегрируема на этой обл-ти. 2.св-во адитивности по обл.интегрирования: Если , то