- •1.Понятие«вычислительная задача». Типы вычислительных задач и их постановка.
- •3. Условия корректности вычислительной задачи.
- •2. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений: класс метода, прямой и обратный ходы, оценка трудоемкости.
- •Трудоёмкость метода Гаусса
- •Условие сходимости метода простых итераций
- •Трудоёмкость метода простых итераций
- •Условие сходимости метода Зейделя
- •Наглядное представление метода Зейделя
- •7. Источники погрешностей вычислений.
- •8. Метод бисекции решения нелинейных уравнений: условие локализации корня, алгоритм решения, условие окончания, надежность и эффективность метода.
- •9. Погрешности представления (округления) чисел в эвм. Понятие «представимое множество эвм». Способы округления.
- •11. Понятия «абсолютная погрешность» и «относительная погрешность». Реальные оценки погрешностей.
- •Упрощенный метод Ньютона
- •13. Правила записи приближенных чисел, понятия «значащие цифры числа» и «верные значащие цифры числа».
- •15. Абсолютная и относительная погрешности сложения.
- •14. Метод Ньютона–Рафсона решения систем нелинейных уравнений: алгоритм решения, условие окончания.
- •Алгоритм решения:
- •16. Метод Лагранжа интерполяции данных: тип метода, вид и степень общего полинома Лагранжа, условие интерполяции, задача построения полинома Лагранжа, недостаток метода.
- •17. Абсолютная и относительная погрешности вычитания.
- •18. Метод сплайнов интерполяции данных: тип метода, количество и степень сплайн-полиномов, условие интерполяции и условия сопряженности сплайнов, эффективность метода.
- •19. Абсолютная и относительная погрешности умножения.
- •20. Абсолютная и относительная погрешности деления.
- •21. Абсолютная и относительная погрешности деления.
- •24. Методы центральных прямоугольников, трапеций и Симпсона вычисления определенных интегралов: расчетные формулы, порядок точности, оценка погрешности, вычисление погрешности по правилу Рунге.
- •27. Общее понятие «численный метод».
- •28. Метод Монте-Карло вычисления определенных интегралов: расчетная формула, алгоритм метода.
- •29. Понятие «численный метод эквивалентных преобразований».
- •35. Понятие «итерационный (приближенный) численный метод.
- •Условие сходимости метода простых итераций
- •Трудоёмкость метода простых итераций
- •36.Решение оду модифицированным методом Эйлера: порядок точности, начальные условия, расчетная формула для получения решения, графическая интерпретация, вычисление погрешности по правилу Рунге.
- •37.«Численный метод статистических испытаний (случайный численный метод)»
36.Решение оду модифицированным методом Эйлера: порядок точности, начальные условия, расчетная формула для получения решения, графическая интерпретация, вычисление погрешности по правилу Рунге.
В данном методе мы находим tg угла наклона касательной в точке:
x = x[m] + h/2; y = y[m] + (h/2)*y'[m]
Соотношения, описывающие модифицированный метод Эйлера имеют вид:
y[m+1] = y[m] + h*F(x[m],y[m],h) (7)
F(x[m],y[m],h) = f( x[m]+h/2, y[m]+(h/2)*y'[m] ) (8)
y'[m] = f(x[m],y[m]) (9)
Модифицированный метод Эйлера также согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов степени h^2, и также является методом Рунге-Кутта второго порядка.
37.«Численный метод статистических испытаний (случайный численный метод)»
Суть данного метода состоит в том, что результат испытания зависит от значения некоторой случайной величины, распределенной по заданному закону. Поэтому результат каждого отдельного испытания также носит случайный характер. Проведя серию испытаний, получают множество частных значений наблюдаемой характеристики (выборку). Полученные статистические данные обрабатываются и представляются в виде численных оценок интересующих исследователя величин (характеристик системы).
38. Решение ОДУ методом прогноза и коррекции: порядок точности, начальные условия, алгоритм процесса последовательных приближений к решению в новой точке на основе прогноза и коррекции, графическая интерпретация, условие окончания приближений.
Схема предиктор-корректор (метод прогноза и коррекции, предсказывающе-исправляющий метод[1]) — в вычислительной математике — семейство алгоритмов численного решения различных задач, которые состоят из двух шагов. На первом шаге (предиктор) вычисляется грубое приближение требуемой величины. На втором шаге при помощи иного метода приближение уточняется (корректируется).
Метод Милна — для ОДУ[3]
метод (схема) Хойна (предиктор — Метод Эйлера, корректор — Метод трапеций)[4]
При исользовании схемы п.-к. для решения ОДУ отмечают высокую точность расчета и отсутствие свойства самостартуемости (то есть для начала вычислений по схеме п.-к. требуется предварительно воспользоваться другим, самостартующим методом)[5]
Метод Адамса-Башфорта — параллельный п.-к. для решения нежестких краевых задач[6] (используется корректор Адамса-Адамса-Мултона[7])
Формулы Хемминга[8]
40. Решение ОДУ методом Рунге-Кута: порядок точности, начальные условия, расчетные формулы для получения решения, смысл коэффициентов в итоговой расчетной формуле, вычисление погрешности по правилу Рунге.
Система ОДУ, в которой каждое уравнение первого порядка, имеет вид
где - количество уравнений системы;
- номер каждой зависимой переменной ;
- независимая переменная.
Решение системы ОДУ при заданных начальных условиях , ,..., ,..., сводится к нахождению функций решения (интегральных кривых) ,..., ,..., .
Расчетные формулы для вычисления решения системы ОДУ те же, что и для одного ОДУ. Особенность состоит в том, что у каждого из уравнений системы имеется свое выражение правой части и при формировании нового - го значения каждой j-ой зависимой переменной на основе старого - го значения вычисляются свои - е величины .
С учетом этих особенностей расчетные формулы для вычисления решения системы ОДУ методом Рунге-Кутта могут быть записаны в следующем виде:
|
|
- номера точек решения. |
При программной реализации алгоритма решения систем ОДУ значения правых частей ОДУ (производных функций) и зависимых переменных (функций, являющихся решением системы) помещают в одномерные массивы (векторы)
Здесь индексы и означают старое (в том числе начальное) и новое решения системы ОДУ.
Величины помещают в двумерный массив , у элементов которого первым индексом является номер этих величин от 1 до 4, а вторым - номер соответствующей функции решения.
Тогда в общем виде (с использованием обозначений векторов) будем иметь следующую запись расчетных формул метода Рунге-Кутта:
Для вычисления элементов массива значений производных составляется отдельная подпрограмма. В неё передаются значение независимой переменной , массив промежуточных значений функций решения , а также величины, входящие в выражения правых частей дифференциальных уравнений (параметры математической модели, описываемой данной системой ОДУ).