- •1.Понятие«вычислительная задача». Типы вычислительных задач и их постановка.
- •3. Условия корректности вычислительной задачи.
- •2. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений: класс метода, прямой и обратный ходы, оценка трудоемкости.
- •Трудоёмкость метода Гаусса
- •Условие сходимости метода простых итераций
- •Трудоёмкость метода простых итераций
- •Условие сходимости метода Зейделя
- •Наглядное представление метода Зейделя
- •7. Источники погрешностей вычислений.
- •8. Метод бисекции решения нелинейных уравнений: условие локализации корня, алгоритм решения, условие окончания, надежность и эффективность метода.
- •9. Погрешности представления (округления) чисел в эвм. Понятие «представимое множество эвм». Способы округления.
- •11. Понятия «абсолютная погрешность» и «относительная погрешность». Реальные оценки погрешностей.
- •Упрощенный метод Ньютона
- •13. Правила записи приближенных чисел, понятия «значащие цифры числа» и «верные значащие цифры числа».
- •15. Абсолютная и относительная погрешности сложения.
- •14. Метод Ньютона–Рафсона решения систем нелинейных уравнений: алгоритм решения, условие окончания.
- •Алгоритм решения:
- •16. Метод Лагранжа интерполяции данных: тип метода, вид и степень общего полинома Лагранжа, условие интерполяции, задача построения полинома Лагранжа, недостаток метода.
- •17. Абсолютная и относительная погрешности вычитания.
- •18. Метод сплайнов интерполяции данных: тип метода, количество и степень сплайн-полиномов, условие интерполяции и условия сопряженности сплайнов, эффективность метода.
- •19. Абсолютная и относительная погрешности умножения.
- •20. Абсолютная и относительная погрешности деления.
- •21. Абсолютная и относительная погрешности деления.
- •24. Методы центральных прямоугольников, трапеций и Симпсона вычисления определенных интегралов: расчетные формулы, порядок точности, оценка погрешности, вычисление погрешности по правилу Рунге.
- •27. Общее понятие «численный метод».
- •28. Метод Монте-Карло вычисления определенных интегралов: расчетная формула, алгоритм метода.
- •29. Понятие «численный метод эквивалентных преобразований».
- •35. Понятие «итерационный (приближенный) численный метод.
- •Условие сходимости метода простых итераций
- •Трудоёмкость метода простых итераций
- •36.Решение оду модифицированным методом Эйлера: порядок точности, начальные условия, расчетная формула для получения решения, графическая интерпретация, вычисление погрешности по правилу Рунге.
- •37.«Численный метод статистических испытаний (случайный численный метод)»
19. Абсолютная и относительная погрешности умножения.
Погрешность произведения: относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел:
d £ d1 + d2 + ... + dn .
Поэтому при вычислении произведения нескольких приближенных чисел применяют следующие правила:
- округляют эти числа так, чтобы каждое из них содержало на одну (или две) значащие цифры больше, чем число верных значащих цифр в наименее точном из сомножителей;
- в результате умножения сохраняют столько значащих цифр, сколько верных цифр имеется в наименее точном из сомножителей.
Пример. Найти произведение х1 = 2.5 и х2 = 72.397 .
Решение. После округления имеем х1=2.5 и х2=72.4 .Т.е. u=x1·x2= 2.5·72.4 = 181 .
20. Метод наименьших квадратов аппроксимации данных: тип метода, принцип метода, степень аппроксимирующего полинома, задача построения полинома, условия и вывод системы уравнений для определения коэффициентов полинома.
При отображении таблично заданной функции y = f(x), i = 0,1, …,n, значения которой получены в результате экспериментов, т.е. содержат ошибки измерений, нет необходимости в точном воспроизведении (интерполировании) значений функции в заданных точках.
Поставим себе задачу отобразить приближëнно функцию y = f(x)
(см. точки на рис. 2.2) полиномом степени m = 2 (параболой) вида:
(2.31)
Рис. 2.2
В полиноме (2.31) содержатся три (m + 1) неизвестных коэффи-циентов a0, a1, a2. Определим их из условия
, (2.32)
где yi – результаты измерений функции из экспериментов;
P2 (xi, a0, a1, a2) – расчетные значения полинома при x = xi.
По условию (2.32) требуется, чтобы сумма квадратов отклонений в точках x0, x1, …, xn полинома P2(x) от функции y = f(x) была минимальной. Это положено в основу метода наименьших квадратов.
Фактически стоит задача найти минимум функции σ = σ(a0, a1, a2). Для еë решения подставим выражение полинома (2.31) в условие (2.32), возьмëм частные производные , , и приравняем их к нулю (условие минимума функции σ). Таким образом, получим систему из трëх уравнений для определения трëх коэффициентов a0, a1, a2 полинома:
После алгебраических преобразований имеем следующую сис-тему уравнений:
(2.33)
Заметим, что .
Обозначим
Напоминаем, здесь xi и yi – значения из таблицы эксперимен-тальных данных.
С использованием введенных обозначений система (2.33) для определения коэффициентов a0, a1, a2 запишется в следующем виде:
(2.33а)
Для решения системы (2.33а), являющейся системой линейных алгебраических уравнений, можно использовать метод Гаусса.
В частном случае, когда данные эксперимента укладываются в плоскости координат x, y вблизи прямой, для их отображения можно взять полином первой степени P1(x) = a0 + a1x, т.е. решить задачу линейной регрессии («регрессия» – обратное движение; в рассмат-риваемой задаче – восстановление выражения функции по отдельным еë значениям).
Система уравнений для определения коэффициентов a0 и a1 полинома P1(x) будет состоять из двух уравнений. С использованием введëнных выше обозначений можем записать:
(2.34)