8. Лемма о параллельном переносе силы (лемма Пуансо)

Всякая сила, приложенная к твердому телу, эквивалентна такой же силе, но приложенной в другой точке тела, не лежащей на линии действия первой силы, и паре сил с моментом, равным моменту первой силы относительно точки приложения второй силы.

Пусть дана сила F₁, приложенная в точке A твердого тела (рис. 26, a). Выберем на теле другую точку B, не лежащую на линии действия силы, и приложим в этой точке уравновешенную систему сил (F₂,F₁') ~ 0, из которых сила F₂ равна силе F₁ по величине и одинакова по направлению (рис. 26, b). Система трех сил по второй аксиоме статики эквивалентна одной силе F₁ или F₁ ~ (F₁, F₂, F₁') . Но силы F₁ и F₁' образуют пару, момент которой по формуле (5) в п. 10 равен m_B(F₁) :

и лемма доказана. Пару сил можно поворачивать (рис. 26, c), переносить в другое место и т.д., а сила останется приложенной в точке B.

9. Основная теорема статики

Главным вектором системы сил называют вектор, равный сумме всех сил системы:

Главным моментом системы сил относительно центра называют вектор, равный сумме моментов всех сил системы относительно центра:

Сформулируем основную теорему статики.

Произвольная система сил, приложенная к твердому телу, эквивалентна одной силе, приложенной в центре приведения и равной главному вектору, и одной паре сил, момент которой равен главному моменту относительно центра приведения:

Докажем теорему. Пусть к твердому телу приложена произвольная система сил (F₁, F₂, ..., F_n). Какую либо точку тела выберем за центр приведения и обозначим буквой O. Следуя лемме, силы системы переносим в эту точку и получаем систему пар сил и пучок сил в центре приведения. Складывая все силы пучка и пары сил, получаем одну силу в центре приведения и одну пару сил. Силы пучка по величине и направлению равны силам исходной системы, поэтому полученная сила равна главному вектору системы R. Моменты пар равны моментам соответствующих сил относительно центра O, поэтому момент полученной пары сил (F,F') равен главному моменту системы M_O. Теорема доказана.

Заметим, что при параллельном переносе сил к центру приведения не изменились ни модули, ни направления сил, поэтому главный вектор не зависит от выбора центра приведения. Главный вектор является инвариантом (неизменной величиной) данной системы сил. В отличие от главного вектора, главный момент зависит от выбранного центра приведения и не является инвариантом.

10. Условия равновесия твердого тела под действием произвольной плоской и пространственной системы сил.

Для равновесия твердого тела под действием произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы равнялись нулю:

, т.е.

Для равновесия твердого тела под действием плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю две суммы проекций сил на оси координат и сумма алгебраических моментов всех сил относительно любой точки плоскости.

Для равновесия твердого тела под действием плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю три суммы моментов сил системы относительно трех точек плоскости, не лежащих на одной прямой:

Для равновесия твердого тела под действием плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю две суммы моментов сил системы относительно двух точек плоскости и сумма проекций сил системы на ось, не перпендикулярную прямой, соединяющей эти точки: