Метод гармонической линеаризации

Является методом, приближенным методом исследований нелинейных систем. Разработали: Гольдфорб Л.С. и Попов Е.П.

Позволяет определить режим, параметры автоколебаний и связь параметров автоколебаний с параметрами системы.

Рассмотрим разомкнутую систему.

На выходе нелинейного элемента будет также апериодический сигнал, но отличающийся по форме от синусоид.

При исследовании нелинейной системы пользуются следующими допущениями:

1. большинство нелинейных характеристик являются кососимметричными (т.е. симметричными относительно начала координат). Для кососимметричных характеристик справедливо: ,т.е. все амплитуды четных характеристик являются нулевыми;

2. амплитуды всех гармоник выше первой значительно меньше амплитуды первой гармоники k=3,5...;

3. линейная часть нелинейной системы является фильтром низких частот, т.е. подавляет все гармоники, кроме первой:

тогда с учетом вышеизложенного сигнал на выходе нелинейного звена описывается следующим уравнением:

уравнение гармонической линеаризации.

Применение метода гармонической линеаризации для определения устойчивости колебаний.

если частота и амплитуда положительны и действительны, то в системе могут возникнуть автоколебания; в случае отрицательных и комплексных значений частота и амплитуда в нелинейной системе автоколебания невозможны.

Решение системы (1) определяет необходимое условие автоколебаний.

Для того, чтобы убедиться, что автоколебания устойчивы необходимо провести дополнительные исследования.

Если увеличить амплитуду входного сигнала на небольшое значение , то для устойчивых автоколебаний, спустя определенное время амплитуда должна установиться на значении , т.о. при положительном значении должен быть сходящийся к предельному циклу процесс.

При уменьшении амплитуды на величину имеет место расходящийся до определенных пределов (предельный цикл) процесс. Аналогично поступают с частотой автоколебаний.

Применение критерия Гурвица для исследования нелинейных систем после гармонической линеаризации

1. Условия автоколебаний:

2. Для того, чтобы автоколебания были устойчивы все определители Гурвица для характеристического уравнения для нелинейных систем после гармонической линеаризации при увеличении амплитуды входного сигнала должны оставаться положительными:

3. Все определители Гурвица, кроме двух последних, при уменьшении амплитуды входного сигнала должны стать отрицательными:

Применение критерия Михайлова для анализа нелинейных систем после линеаризации

1.

Необходимым условием автоколебаний: необходимо, чтобы годограф Михайлова проходил через начало координат.

2. Достаточным условием устойчивости автоколебаний является следующее:

Применение критерия Найквеста для устойчивости нелинейных систем после гармонической линеаризации

Для обеспечения необходимого условия возникновения автоколебаний необходимо, чтобы годограф Найквеста проходил через точку .

т.о. для включения режима автоколебаний необходимо, чтобы АФХ линейной части на комплексной плоскости пересекалось с кривой, представляющей собой обратную нелинейную характеристику со знаком «». Если такого пересечения нет, то в данной системе невозможны автоколебания. Для того, чтобы автоколебания были устойчивыми необходимо, чтобы точка на кривой , близкая к точке пересечения, но сдвинутая в сторону увеличения амплитуды не охватывалась АФХ линейных систем, в противном случае автоколебания неустойчивы.

т . m₁ характеризует неустойчивость автоколебания

т. m₂ характеризует устойчивость автоколебания

в т. m₁ не возвращается в устойчивость

в т. m₂ возвращается