- •35. Исследование функции на интервале монотонности. Экстремум ф-ии необходимое и достаточное условие экстремума.
- •37. Асимптоты. Вертикальные, горизонтальные, наклонные. Их нахождение.
- •38. Наибольшее и наименьшее значения ф-ии непрерывной на отрезке. Общий план исследования ф-ий и построения их графиков.
- •39. Функции нескольких переменных (фнп). Определения. Ооф. Геометрич смысл.
- •40. Линии уровня, градиент для ф-ии 2-х переменных.
- •41. Частное и полное приращение ф-ии. Предел ф-ии 2-х переменных. Непрерывность фнп.
- •42. Частные производные фнп.
- •43. Дифференциалы фнп.
- •44. Дифференцирование сложной ф-ии нескольких переменных.
- •45. Производных высших порядков для 2-х переменных.
- •46. Экстремум ф-ии 2-х переменных. Необходимое условие существ-я экстремума.
- •47. Достаточное усл-е существ-я экстремума для ф-ии 2-х переменных.
- •48. Первообразная и неопределенный интеграл.
- •49. Свойства неопределенного интеграла.
- •50. Таблица неопределенных интегралов.
- •51. Методы интегрирования. Непосредственное интегрирование. Метод подставки. Интегрирование по частям.
- •52. Интегрирование простейших дробей.
- •53. Разложение рациональных дробей на простейшие. Интегрирование рациональных дробей. Метод неопределенных коэффициентов.
- •54. Интегрирование простейших иррациональных выражений.
- •55. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка.
- •56. Интегральные суммы. Понятие определенного интеграла.
- •57. Связь неопределенного интеграла с определенным. Формула Ньютона-Лейбница.
- •58. Свойства определенного интеграла.
- •59. Вычисление определенного интеграла по частям.
- •60. Замена переменной в определенном интеграле.
- •61. Несобственные интегралы с ∞-ми пределами.
- •62. Несобственные интегралы от разрывных функций.
45. Производных высших порядков для 2-х переменных.
Z=f(x,y). Частн производн dz|dx = f`x(x,y), dz|dy=f`y(x,y). Также явл ф-ми от х и . Если они непрерывны и дифф-мы, то от них можно снова наход производн.
D|dx(dz|dx)=d2z|dx2=f``xx(x,y) – вторая частн произ взятая по х 2 раза или частн произв 2-го порядка по х.
D|dy(dz|dx)=d2z|dxdy=f``xy(x,y) – вторая частн произ взятая по х и по y или смешан произв 2-го порядка по х.
D|dx(dz|dy)=d2z|dxdy=f``yx(x,y) – вторая частн произ взятая по y и по x или смешан произв 2-го порядка по х.
D|dy(dz|dy)=d2z|dy2=f``yy(x,y) – вторая частн произ взятая по y 2 раза или частн произв 2-го порядка по х.
Всего для ф-ии 2х перемен сущ 4 частн производн 2 пор-ка
Теор: Если смеш рпоизводн непрерывн, то порядок дифференц-я безразличен. Z``xy=Z``yx
46. Экстремум ф-ии 2-х переменных. Необходимое условие существ-я экстремума.
Точка M0(x0,y0) является точкой максимума (минимума) функции
z = f(x,y), если найдется такая окрестность точки M0, что для всех точек M(x,y) из
этой окрестности выполняется неравенство f(x,y)< f(x0,y0) ( f(x,y)> f(x0,y0)).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
Сформулируем необходимое условие экстремума. Если в точке
экстремума существует первая частная производная (по какому-либо
аргументу), то она равна нулю.
Точки экстремума дифференцируемой функции (то есть функции,
имеющей непрерывные частные производные во всех точках некоторой области)
надо искать только среди тех точек, в которых все первые частные производные
равны нулю.
Там, где выполняется необходимое условие, экстремума может и не быть
(здесь полная аналогия с функцией одной переменной).
Пример:
z = xy;
z`x = y;
z`y = x;
z`x (0,0) = 0;
z`y (0,0) = 0.
Обе частные производные в точке (0,0) обращаются в 0. Однако точка (0,0)
не является точкой экстремума, так как в ней самой z = 0, а в любой её
окрестности есть точки, где z(x,y) > 0 (это точки, лежащие внутри первого и
третьего координатных углов), и есть точки, где z(x,y) < 0 (это точки, лежащие
внутри второго и четвертого координатных углов).
Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если в точке N0(x0;y0) дифференцируемая функция z=f(x,y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: f'x(x0;y0)=0, f'y=(x0;y0)=0.
Точка в которой частные производные первого порядка функции z=f(x,y) равны нулю, т.е. f'x=0, f'y=0, называется стационарной точкой функции z (или точкой возможного экстремума). Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует называется критическими точками. В критических точках функция может иметь экстремума, а может не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но недостаточным условием существования экстремума. Для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию.
47. Достаточное усл-е существ-я экстремума для ф-ии 2-х переменных.
Пусть в стационарной точке (хо;уо) и некоторой ее окрестности функция ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (х0;у0) значения A=f''xx(x0;y0), В=ƒ''xy(х0;у0), С=ƒ''уy(х0;у0). Обозначим
Тогда:
1. если Δ > 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) имеет экстремум: максимум, если А < 0; минимум, если А > 0;
2. если Δ < 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.
В случае Δ = 0 экстремум в точке (х0;у0) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.