51. Методы интегрирования. Непосредственное интегрирование. Метод подставки. Интегрирование по частям.

1. Непосред интегрирование состоит в том, что данный интеграл сводится к табличному искусств преобразованием.

Прим: ⌡sin(3x+2) dx = 1/3⌡sin(3x+2) d(3x+2) = -1/3cos(3x+2) + С

2. Разлож-е на слогаемые.

Прим: ⌡(3х-1)²dx=⌡9x²dx -⌡6x+⌡dx=3x³-3x²+x+C

3. Метод подстановки.

Чтобы сделать замену перемен в опр интеграл, дост обр к нов перемен подыинтегральн выраж (t=φ(t))

⌡f(x)dx=⌡f[φ(t)]φ`(t)dt

Прим: ⌡(3x-1)²dx=|(3x-1)=t, x=(t+1)/3, dx=1/3dt|=1/3⌡t²dt=1/3*t³/3+C=(3x-1)³/9+C

4. Интегрир-е по частям.

⌡d(UV)= ⌡UdV+⌡VdU=⌡UdV+⌡VdU=>⌡UdV=UV-⌡VdU

Прим: ⌡x*e^2xdx=|U=x, dU=dx, dV=e^2xdx, V=e^2x/2|=x*e^2x/2-1/2⌡e^2xdx=x*e^2x/2 – ½*1/2e^2x+C=x*e^2x/2-e^2x/4+C

52. Интегрирование простейших дробей.

Интегрирование простейших дробей первого типа 

Для решения этой задачи идеально подходит метод непосредственного интегрирования: 

Интегрирование простейших дробей второго типа 

Для решения этой задачи также подходит метод непосредственного интегрирования: Интегрирование простейших дробей третьего типа 

Для начала представляем неопределенный интеграл   в виде суммы:  , Первый интеграл берем методом подведения под знак дифференциала. У полученного интеграла   преобразуем знаменатель. Формула интегрирования простейших дробей третьего типа принимает вид:    Интегрирование простейших дробей четвертого типа 

Первый шаг – подводим под знак дифференциала:    Второй шаг – нахождение интеграла вида  . Интегралы подобного вида находятся с использованием рекуррентных формул. (Смотрите раздел интегрирование с использованием рекуррентных формул). Для нашего случая подходит следующая рекуррентная формула:   

53. Разложение рациональных дробей на простейшие. Интегрирование рациональных дробей. Метод неопределенных коэффициентов.

Для начала разберем теорию, далее решим парочку примеров для закрепления материала по разложению дробно рациональной функции на сумму простейших дробей. Подробно остановимся на методе неопределенных коэффициентов и методе частных значений, а также на их комбинации.  Простейшие дроби часто называют элементарыми дробями. Различают следующие виды простейших дробей:

1. 

2. 

3. 

4. 

где A, M, N, a, p, q – числа, а дискриминант знаменателя в дробях 3) и 4) меньше нуля.

Алгоритм метода неопределенных коэффициентов.  Во-первых, раскладываем знаменатель на множители.

Во-вторых, раскладываемую дробь представляем в виде суммы простейших дробей снеопределенными коэффициентами.

В-третьих, приводим полученную сумму простейших дробей с неопределенными коэффициентами к общему знаменателю и группируем в числителе слагаемые при одинаковых степенях х.

В-четвертых, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х. При этом получаем систему линейных алгебраических уравнений с неопределенными коэффициентами в качестве неизвестных:

В-пятых, решаем полученную систему уравнений любым способом

Метод неопределенных коэффициентов применяют при интегрировании рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида  , гдеP(x) и Q(x) являются многочленами. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя P(x) ниже степени знаменателя Q(x); в противном случае дробь называют неправильной. Любая правильная рациональная дробь   может быть единственным образом представлена в виде суммы простых рациональных дробей.

Чтобы разложить правильную рациональную дробь   на простые дроби, необходимы следующие действия.

1. Разложить знаменатель Q(x) на линейные и квадратные множители, не имеющие действительных корней. Каждому сомножителю (x-a)^k разложенияQ(x) отвечает в разложении дроби   выражение вида

                             (1)

Каждому сомножителю  - выражение вида

               (2)

2. Записать разложение   на простейшие дроби, используя выражения (1) и (2), при этом все коэффициенты пока неопределенные.

4.     Полученное равенство привести к общему знаменателю.

5.     Раскрыть скобки, привести подобные члены и получить систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Решив эту систему, определим коэффициенты и запишем разложение дроби   на простые дроби.