62. Несобственные интегралы от разрывных функций.

F(x) принадл на [a,b], конечн числовых (.) разр 1го рода, тогда несобст ⌡ есть сумма обыкн ⌡ взят по частничн⌡, на котор разбив⌡[a,b] всеми (.) разр ф-ии.

A<c₁<c₂<…<c_n-1<c_n<b. ⌡^b_a f(x)dx=⌡^c1_a f(x)dx+⌡^c2_c1 f(x)dx+⌡^b_cn f(x)dx.

Если [a,b] f(x) в(.) C€[a,b] имеет разр 2 рода, то ум веч? ⌡^с_a f(x)dx и ⌡^с_b f(x)dx, где f(c)=∞.

Опр: Несобст ⌡ от f(x) непрерывн при а≤х<c назыв пределами ⌡^с_a f(x)dx=lim_ζ-0⌡^c-ζ_a f(x)dx, аналогич ⌡^b_c f(x)dx=lim _ζ-0 ⌡^b_c+ζ f(x)dx, ζ>0.

Призн сходимости:

Теор: Если f(x) и φ(x) непрерывны на [a,c) и неогранич возраст при x->c, причем для всех х из [a,c) выполн нерав-во: 0≤ f(x)≤φ(x).

Тогда: 1) Из сходим ⌡^с_a φ(x)dx=> сход ⌡^с_a f(x)dx аналогичн с расходимостью

Теор2: 1) ⌡^с_a f(x)dx – 1, 2) ⌡^с_a |f(x)|dx – 2 => 1. 2 сход, тогда 3 сход. 2. 2 расх, 1 НСН

Призн Каши: (*)lim_x=>c(c-x)^p|f(x)|=A (опр число). При p<1 2 сход – 1 сход абсолют. Если (*) выполн при p≥1, 2 расх, 1 – НСН.

Усл сходим: ⌡^с_аdx/(с-х)^р=сход при p<1, расход при p≥1.

5. Операции интегрирования.

1. Линейность операции интегрирования:

2. Замена переменных (метод подстановки): если то

Эта формула позволяет интегрировать произведения, одним из сомножителей которых является сложная функция

3. Интегрирование по частям:

4. Интегрирование простейших дробей:

1.

2.

3.