57. Связь неопределенного интеграла с определенным. Формула Ньютона-Лейбница.

Q(x), y=f(x) [a,b], x€[a,b]. Q(b)=Q, Q(a)=0, дельта Q(x)=Q(x+дельта x)-Q(x). Если в (.)x f(x) возраст => f(x)дельта х<дельтаQ(x)<f(x+дельта х)дельта х. f(x) < дельтаQ(x)/дельта х<f(x+дельта х). f(x)≤ lim_{дельта х→0} дельтаQ(x)/дельта х≤ lim_{дельта х→0} f(x+дельта х)=f(x). Q`(x)=f(x). Q(x) – первообразн для f(x), одна из первообразных. Q(x)=F(x)+C₁. Q(a)=F(a)+C₁=0 => C₁=-F(a).

Q(x)= ⌡^x_af(x)dx=F(x)- F(a).

⌡^b_af(x)dx= F(b)- F(a), F`(x)=f(x). – ф-ла Ньютона-Лейбница

58. Свойства определенного интеграла.

1. Интегр с одинак границами=0

⌡_a^af(x)dx=0

2. От перестановки Лима интегр меняет знак

⌡_a^bf(x)dx=-⌡_b^af(x)dx

3. Опред интегр не завис от обозн-я перемен интегр-я.

⌡_a^bf(x)dx=⌡_a^bf(t)dt

4. Посторон множитель можно вносить и выносить под знак опред интегр

⌡_a^b K f(x)dx=K⌡_a^b f(x)dx, K=const

5. Определ интеграл от алгебраич суммы конечного числа ф-ии=алгебраич сумме интегралов от тех же ф-ий.

6. Для любого С

7. Если одна ф-ия больше другой, a<b => интеграл первой больше второго

Cл-е 1:

8. М-наиб, m-наим f(x)[a,b], a<b, то m*(b-a)≤ ⌡_a^bf(x)dx ≤M*(b-a).

m≤f(x) ≤M для всех(любой) x€[a,b]; ⌡_a^b m dx≤ ⌡_a^bf(x)dx ≤⌡_a^b M dx => m*(b-a)≤ ⌡_a^bf(x)dx ≤M*(b-a) чтд.

9. Теор о среднем.

Если f(x) непрерывн на [a,b], то сущ(.) ξ € [a,b], такая, что ⌡_a^bf(x)dx=(b-a)f(ξ), ξ€ [a,b].

f(ξ)=1/(b-a)*⌡_a^bf(x)dx – опред средн знач ф-ии f(x) на интервале [a,b].

10. Опред интеграл с перемен верх лимом и непр подынтегр ф-ией=сам есть непр-ная ф-ия своего верх Лима.

⌡_a^xf(x)dx=F(x)-F(a)=f(x)

11. Производно пред интеграла по перемен верх предел=подыинтегральн ф-ии знач верх предел, если она непрерывна.

[⌡_a^xf(x)dx]`<sub>x</sub>=f(x) => разлож на [F(x)]`=f(x) и [F(a)]`=0

59. Вычисление определенного интеграла по частям.

⌡UdV=UV-⌡VdU

⌡_a^bUdV=[⌡UdV]|^b_a=[UV-⌡VdU]|^b_a= UV|^b_a – [⌡VdU]|^b_a= UV|^b_a - ⌡_a^bVdU

⌡_a^bUdV= UV|^b_a - ⌡_a^bVdU – форм интегр по част для опред интеграла

60. Замена переменной в определенном интеграле.

Теор: ⌡_a^bf(x)dx. Введ новой переменной x=φ(t) => dx= φ`(t)dt

Если: 1) φ(λ)=а, φ(β)=b. 2) φ(t) и φ`(t) непрерывна [λ, β]. 3) f[φ(t)] определена и непр [λ, β].

⌡_a^bf(x)dx=⌡_λ ^βf[φ(t)]* φ`(t)dt.

X|| a| b

T|| λ| β

61. Несобственные интегралы с ∞-ми пределами.

Определенный интеграл где промежуток интегрирования [а; b] конечный, а подынтегральная функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b], называют еще собственным интегралом.

Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т. е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.

40.1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)

Пусть функция ƒ(х) непрерывна на промежутке [а;+∞). Если существует конечный предел то его называютнесобственным интегралом первого родаи обозначают

Таким образом, по определению

⌡^+∞_a f(x)dx=lim_b=>+∞[F(b)-F(a)]=F(∞)-F(a)

В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится.

Если же указанный предел не существует или он бесконечен,то говорят, что интеграл  dx расходится.

Аналогичноопределяется несобственный и нтеграл на промежутке (-∞; b]:

Несобственный интеграл с двумя бесконечны ми пределами определяется формулой

 где с — произвольное число.

В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функция ƒ (х) ≥ 0 на промежутке [а; +∞) и интеграл сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции (см. рис. 172).

Пример 40.1. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

1)  2) 3)

Решение:

1) интеграл сходится;

2) интеграл расходится, так как при а →-∞ предел не существует.

3) интеграл расходится.

В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл; достаточно лишь знать, сходится ли он или нет.

Приведем без доказательства некоторые признаки сходимости.

Теорема 40.1 (признак сравнения). Если на промежутке [а; +∞) непрерывные функции ƒ(х) и φ(х) удовлетворяют условию 0 ≤ ƒ(х) ≤φ(х), то из сходимости

интеграла следует сходимость интеграла а из расходимо-

сти интеграла  следует расходимость интеграла

Пример 40.2. Сходится ли интеграл

Решение: При х ≥ 1 имеем Но интеграл  сходится. Следовательно, интеграл также сходится (и его значение меньше 1).

Теорема 40.2. Если существует предел и φ(х) > 0), то интегралы одновременно оба сходятся или оба расходятся (т. е. ведут себя одинаково в смысле сходимости).

Пример 40.3. Исследовать сходимость интеграла

Решение: Интеграл сходится, так как интеграл  сходится и

Теор2: Пусть f(x) знако перемен ф-ия. 1) ⌡^+∞_a f(x)dx=1, 2) ⌡^+∞_a |f(x)|dx=2.=>1) Если 2 сход, то 1 сход – абсолют, 2) 2 расход – про 1 ничего сказать нельзя.