37Статистические оценки параметров распределения. Точечные и интервальные оценки

Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет признак. Возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение.

Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные выборки, полученные в результате n наблюдений (здесь и далее наблюдения предполагаются независимыми). Через эти данные и выражают оцениваемый параметр. Рассматривая значения количественного признака как независимые случайные величины, можно сказать, что найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения - это значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая и дает приближенное значение оцениваемого параметра.

 Итак, статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин

Для того чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям: оценка должна бытьнесмещенной, эффективной и состоятельной.

Несмещенной называют статистическую оценку Q^*, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру Q при любом объеме выборки, т. е.

M(Q^*) = Q.

 Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

  Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки п) имеет наименьшую  возможную дисперсию.

При рассмотрении выборок большого объема (n велико!) к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

  Состоятельной называют статистическую оценку, которая при п стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при п стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.

Оценки неизвестных параметров бывают двух видов - ТОЧЕЧНЫЕ И ИНТЕРВАЛЬНЫЕ. 

ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА - оценка имеющая конкретное числовое значение. Например, среднее арифметическое:

  ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА - оценка представляемая интервалом значений, внутри которого с задаваемой исследователем вероятностью находится истинное значение оцениваемого параметра. Интервал в интервальной оценке называется ДОВЕРИТЕЛЬНЫМ ИНТЕРВАЛОМ, задаваемая исследователем вероятность называется ДОВЕРИТЕЛЬНОЙ ВЕРОЯТНОСТЬЮ. В практике статистических вычислений применяются стандартные значения доверительной вероятности:0,95, 0,98 и 0,99 (95%, 98% и 99% соответственно)

 Очевидно, что чем выше доверительная вероятность, тем выше точность оценки, но шире доверительный интервал. Отсюда следует - ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА (ширина доверительного интервала равна 0) СОВПАДЕТ С ЛЮБЫМ ЗАДАННЫМ ЗНАЧЕНИЕМ ИЛИ ОЦЕНИВАЕМЫМ ПАРАМЕТРОМ РАВНА 0. 

границы доверительного интервала определятся по формулам:

X_min = X - T(ν,P)*S/(n)^1/2

 

X_max = X + T(ν,P)*S/(n)^1/2

 

где: X_min, X_max - нижняя и верхняя границы интервала;      X - среднее арифметическое (точечная оценка МО);      n - объем выборки;      T(ν,P) - поправочный коэффициент, называемый T-статистика, величина которого определяется значением задаваемой доверительной вероятности p и числом степеней свободы ν (ν=n-1);

    S = [(x₁ - X)² + (x₂ - X)² + ... + (x_n - X)²]^1/2  - корень квадратный из оценки дисперсии случайной величины X

37Обработка результатов наблюдений

Мат. Статистика – раздел мат. Занимается получением выводов о массовых явлениях и процессов по данным наблюдения и эксперимента. Ген. Совокупностью – совокупность подлежщих изучению обьектов. N- обьем ген. Совокупн.

Наилучшим способом изучения явл. Выборка – отбор части элементов совокупности. Основное требование – представлять ген. Совокупность, быть репрезентабельной.

Способы Отбор – 1) отбор не требующий разбиения ген. Совокупности ( простой случайный отбор и простой случ отбор с повторениями) 2) разбивает на части(мех. Типический и серийный)

Простой – обьекты извлекаются по одному из всей г.с.

Типический – не из всей гс, а из некоторой её части(целесообразен если значения заметно колеблются)

Механический – гс делится на группы и из каждой группы берется один элемент

Серийный – не по одному, а группами

Группировка эмпирич данных – по интервалам. Цель – получение вариационного или статистич ряда или построение эмпирич распред по форме которого делаетс я вывод о распр. Всей гс

Вариационный ряд – элементы в порядке возрастания

Статистический ряд – в порядке возрастания и снизу в таблице их количество

Для группировки нужно – найти хмин и хмах и размах выборки r =хмах-хмин

Приближенное число интервалов найти по формуле стерджеса – к = (логарифм 2 (n) )+1

H = R/k