46 Способы составления характеристич уравнений

Характеристическое уравнение составляется для цепи после коммутации. Оно может быть получено следующими способами:

непосредственно на основе дифференциального уравнения вида, т.е. путем исключения из системы уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи на основании первого и второго законов Кирхгофа, всех неизвестных величин, кроме одной, относительно которой и записывается уравнение;

путем использования выражения для входного сопротивления цепи на синусоидальном токе;

на основе выражения главного определителя.

47 Решение характеристических уравнений. Корни. Постоянная времени

Выражение свободной составляющей общего решения х дифференциального уравнения определяется видом корней характеристического уравнения

Необходимо помнить, что, поскольку в линейной цепи с течением времени свободная составляющая затухает, вещественные части корней характеристического уравнения не могут быть положительными.

При вещественных корнях монотонно затухает, и имеет место апериодический переходный процесс. Наличие пары комплексно сопряженных корней обусловливает появление затухающих синусоидальных колебаний (колебательный переходный процесс).

Важной характеристикой при исследовании переходных процессов является постоянная времени t, определяемая для цепей первого порядка, как: t=mod(1/роjhhjрор)

где р – корень характеристического уравнения.

Постоянную времени можно интерпретировать как временной интервал, в течение которого свободная составляющая уменьшится в е раз по сравнению со своим начальным значением. Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго.

53-- Порядок расчета переходных процессов с использованием интеграла Дюамеля.

Зная реакцию цепи на единичное возмущающее воздействие, т.е. функцию переходной проводимости g(t)  или (и) переходную функцию по напряжению h(t), можно найти реакцию цепи на воздействие произвольной формы. В основе метода – метода расчета с помощью интеграла Дюамеля – лежит принцип наложения. При использовании интеграла Дюамеля для разделения переменной, по которой производится интегрирование, и переменной, определяющей момент времени, в который определяется ток в цепи, первую принято обозначать как , а вторую - как t. Следует отметить, что с использованием интеграла Дюамеля можно определять также напряжение. При этом вместо переходной проводимости  g(t) будет входить переходная функция по напряжению. .

54-- Последовательность расчета методом переменных состояния

Метод переменных состояния основывается на упорядоченном составлении и решении системы дифференциальных уравнений первого порядка, которые разрешены относительно производных, т.е. записаны в виде, наиболее удобном для применения численных методов интегрирования, реализуемых средствами вычислительной техники. Количество переменных состояния, а следовательно, число уравнений состояния равно числу независимых накопителей энергии. К уравнениям состояния выдвигаются два основных требования: -независимость уравнений; возможность восстановления на основе переменных состояния любых других переменных. Первое требование удовлетворяется специальной методикой составления уравнений состояния. Для выполнения второго требования в качестве переменных состояния следует принять потокосцепления (токи в ветвях с индуктивными элементами) и заряды (напряжения) на конденсаторах. Действительно, зная закон изменения этих переменных во времени их всегда можно заменить источниками ЭДС и тока с известными параметрами. Остальная цепь оказывается резистивной, а следовательно, всегда рассчитывается при известных параметрах источнико

55-- Методика составления уравнений состояния

Эта методика включает в себя следующие основные этапы:

1. Составляется ориентированный граф схемы, на котором выделяется дерево, охватывающее все конденсаторы и источники напряжения (ЭДС). Резисторы включаются в дерево по необходимости: для охвата деревом всех узлов. В ветви связи включаются катушки индуктивности, источники тока и оставшиеся резисторы.2. Осуществляется нумерация ветвей графа (и элементов в схеме), проводимая в следующей последовательности: первыми нумеруются участки графа (схемы) с конденсаторами, затем резисторами, включенными в дерево, следующими нумеруются ветви связи с резисторами и, наконец, ветви с индуктивными элементами.3. Составляется таблица, описывающая соединение элементов в цепи. В первой строке таблицы перечисляются емкостные и резистивные элементы дерева, а также источники напряжения (ЭДС). В первом столбце перечисляются резистивные и индуктивные элементы ветвей связи, а также источники тока.

56-- Операторный метод расчета переходных процессов

Сущность операторного метода заключается в том, что функции f(t) вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция F(p) комплексной переменной , которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом.

57-- Прямое преобразование Лапласа. Свойства изображений элементов цепей

Изображение F(p) заданной функции f(t) определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:

1Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых:

При умножении оригинала на коэффициент на тот же коэффициент умножается изображение

58-- Закон Ома в операторной форме

Пусть    имеем   некоторую  ветв   выделенную   из    некоторой сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые.

Следует обратить внимание, что операторное сопротивлениеZ(p) соответствует комплекс сопротивлению  ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на jw.Уравнение (1) есть математическая запись закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме

59-- Законы Кирхгофа в операторной форме

1   алгебраическая  сумма  изображений  токов, сходящихся в узле, равна 2алгебраическая сумма изображений  ЭДС,  действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура

.

60-- Переход от изображения к оригиналу (обратное преобразование Лапласа).

Посредством обратного преобразования Лапласа которое представляет собой решение интегрального уравнения (1) и сокращенно записывается(2).На практике этот способ применяется редко.

38-39-- Частотные характеристики

Под частотными характеристиками цепи понимают зависимости от частоты тех величин, которые характеризуют ее свойства. В рассматриваемом случае такими величинами оказываются индуктивное, емкостное и реактивное сопротивления, напряжения на отдельных участках цепи, а также сдвиг фаз между током и приложенным напряжением.

Зависимости UL,UC, I от частоты ω для случая, когда добротность

последовательного колебательного контура Q = 2, показаны на рис. Такие зависимости называют частотными или резонансными характеристиками.

48 Переходные процессы в цепи R,L-цепи при подключении напряжения Такие процессы имеют место, например, при подключении к источнику питания электромагнитов, трансформаторов, электрических двигателей и т.п. ток в цепи в переходном процессе описывается уравнением1 напряжение на катушке индуктивности 2

49--Переходные процессы в цепи R,L-цепи при отключении напряжения

При размыкании ключа в цепи принужденная составляющая тока через катушку индуктивности Таким образом, выражение для тока в переходном режиме и напряжение на катушке индуктивности: