9. Виды событий. Предмет теории вероятности.

Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта.

Основным интуитивным понятием классической теории вероятностей является случайное событие. События, которые могут произойти в результате опыта, можно подразделить на три вида:

а) достоверное событие – событие, которое всегда происходит при проведении опыта;

б) невозможное событие – событие, которое в результате опыта произойти не может;

в) случайное событие – событие, которое может либо произойти, либо не произойти.

10. Виды случайных событий.

Взято событие, которое при осуществлении некоторого опыта либо происходит либо не происходит, называется случайным событием, связанным с этим опытом.

В теории вероятностей изучаются закономерности массовых случайных событий.

Событие, всегда осуществляющиеся в результате данного опыта называют достоверным событием U.

Событие, которое заведомо не произойдет, в результате данного опыта, называется невозможным событием V.

Два события называются несовместными, если в рассматриваемом опыте не могут произойти одновременно.

Совместные – наоборот.

События называются равновозможными, если условия испытания обеспечивают одинаковую возможность осуществления каждого из них.

Множество событий рассматриваемого опыта, одно из которых в результате опыта обязательно происходит, а любые два из них несовместны, называется множеством элементарных событий (или исходов) этого опыта, а каждое событие из этого опыта называется элементарным событием рассматриваемого опыта или его исходом.

11. Классическое определение вероятности . Свойства.

Вероятность - одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия.

Классическое определение вероятности. Пусть пространство элементарных событий  Е  состоит из  N  равновозможных элементарных событий, среди которых имеется  n  событий, благоприятствующих событию  А , тогда число

 

Р ( А ) = n / N

 

называется вероятностью события  А .

 

Основные свойства вероятности. Пусть задано пространство элементарных событий  Е  , а вероятности  Р  определены на событиях из  Е . Тогда:

12.Частота событий. Статистическое определение вероятности.

Частота события x — отношение N(x) / N числа N(x) наступлений этого события в N испытаниях к числу испытаний N.

Статистическое определение. Вероятностью события   называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота   при неограниченном увеличении числа опытов.

В практических задачах за вероятность события   принимается относительная частота   при достаточно большом числе испытаний.

Из данных определений вероятности события   видно, что всегда выполняется неравенство

13.Теорема сложений вероятности. ( не знаю надо доказательства или нет)

 Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух случайных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их пересечения:

А) для несовместных событий

P(A + B) = P(A) + P(B) - вероятность наступления в результате эксперимента хотя бы одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. 

Доказательство. Введем обозначения: n — общее число возможных элементарных исходов испытания; m₁ — число исходов, благоприятствующих событию A; m₂— число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m₁ + m₂. Следовательно,

Р (A + В) = (m₁ + m₂) / n = m₁ / n + m₂ / n.

Приняв во внимание, что m₁ / n = Р (А) и m₂ / n = Р (В), окончательно получим

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Б) полная группа событий

Сумма вероятностей событий A1, A2, . . . , An, образующих полную

группу, равна единице: P(A1) + P(A2) + . . . P(An) = 1

Доказательство. Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то Р (A₁ + A₂ + ... + A_n) = 1.     (*)

Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения: Р (А₁ + А₂ + ... + А_n) = Р (A₁) + Р (A₂) + ... + Р (А_n).    (**)

Сравнивая (*) и (**), получим Р (А₁) + Р (А₂) + ... + Р (А_n) = 1.

В) противоположные события

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено

через A, то другое принято обозначать A.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

P(A) + P(A) = 1.

Доказательство базируется на том, что противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице (см. Теорему о полной группе событий).