1 ,Метод Монжа-метод параллельного проецирования (причем берутся прямоугольные проекции на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций) -- обеспечивая выразительность, точность и удобоизмеримость изображений предметов на плоскости, был и остается основным методом составления технических чертежей.Проекцию на горизонтальную плоскость называют горизонтальной проекцией точки А, а проекцию а́ на фронтальную плоскость называют фронтальной проекцией. При повороте горизонтальной плоскости на 90° можно получить чертеж, в котором обе плоскости находятся в одной плоскости (рис. 5). Данная картина называется эпюром точки.Через перпендикулярные прямые Аа и Аа́ проведем плоскость (рис. 4). Полученная прямая пересекает горизонтальную плоскость по прямой аах, а фронтальную плоскость – по прямой а́ах. Прямые аах и а́ах являются перпендикулярными оси пересечения плоскостей. То есть Аааха́ является прямоугольником.При совмещении горизонтальной и фронтальной плоскостей проекции а и а́ будут лежать на одном перпендикуляре к оси пересечения плоскостей, так как при вращении горизонтальной плоскости перпендикулярность отрезков аах и а́ах не нарушится.Получаем, что на эпюре проекции а и а́ некоторой точки А всегда лежат на одном перпендикуляре к оси пересечения плоскостей.Две проекции а и а́ некоторой точки А могут однозначно определить ее положение в пространстве (рис. 4). Это подтверждается тем, что при построении перпендикуляра из проекции а к горизонтальной плоскости он пройдет через точку А.Используя только две ее проекции, можно узнать, на каком расстоянии от каждой из плоскостей проекций находится данная точка.Пересечение двух плоскостей проекций разделяет пространство на четыре части, которые называют четвертями (рис. 6).

2 , Проецирование отрезка прямой на горизонтальную,фронтальную и профильную плоскости проекции заключается в построении соответствующих проекций двух точек, принадлежащих данной прямой, и проведении прямой линии через одноименные проекции этих точек.Если какая – либо точка принадлежит прямой, то ее проекция принадлежит проекции прямой.

Относительно плоскостей проекций прямая может занимать различные положения:не параллельное ни одной из плоскостей проекций;параллельное одной из плоскостей проекций;параллельное двум плоскостям проекций, т. е.перпендикулярное третьей. Прямая, параллельная одной из плоскостей проекций или двум плоскостям проекций,называется прямой частного положения.

Известны следующие прямые частного положения:горизонтальная прямая фронтальная прямая профильная прямая горизонтально-проецирующая прямая фронтально-проецирующая профильно проецирующая прямая

Прямая общего положения, пересекает все три плоскости проекций. Точки пересечения прямой с горизонтальной, фронтальной и профильной плоскостями называют соответственно горизонтальным фронтальным и профильным следом прямой.Положение горизонтального и фронтального следов прямой определяет, в каких четвертях пространства находится тот или иной участок прямой.Прямая частного положения не пересекает все три плоскости и не имеет следа на той плоскости, которой она параллельна.

3 , Чтобы некоторый отрезок разделить на эпюре в данном соотношении, надо в том же отношении разделить его проекции. Пример: (рис.30) Чтобы разделить отрезок АВ в отношении 2:3 из точки А1 проведем произвольный отрезок А1В*1 разделенный на 5-ть равных частей |A1K*1|=2 , |K*1B*1|=3. А1К*1/ К*1В*1=2/3

Соединяя точку В*1 с точкой В1 и проведя из точки К*1 прямую параллельную (В1В*1) получим проекцию точки К1. Согласно теореме Фалеса (Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону, то на другой стороне отложатся равные между собой отрезки) А1К1/К1В1=2/3 , далее находим К2 . Таким образом проекции точки К делят одноименные проекции отрезка АВ в данном отношении следовательно и точка К делит отрезок АВ в отношении 2/3.

4 , Определение натуральной величины отрезка и углов его наклона к плоскостям проекций способом прямоугольного треугольника. 14. Возьмем отрезок АВ и построим его ортогональнаю проекцию на горизонтальной плоскости проекций H. В пространстве при этом образуется прямоугольный треугольник A'BB', в котором одним катетом является горизонтальная проекция этого отрезка, вторым катетом разность высот точек А и В отрезка, а гипотенузой является сам отрезок. На чертеже прямоугольный треугольник построен на горизонтальной проекции отрезка АВ, второй катет треугольника B'Bo равен разности высот точек АВ, замеренную на плоскости V, гипотенуза его и будет натуральной величиной отрезка АВ. Угол между горизонтальной проекцией A'B' и гипотенузой A'Bo треугольника A'В'Bo это угол наклона данного отрезка AB к плоскости H. Аналогичное построение можно сделать на фронтальной проекции отрезка , только в качестве второго катета надо взять разность глубин его концов, замеренную на плоскости H.

5, Следы прямой являются точками, одновременно принадлежащими как плоскости проекций, так и прямой.

Фронтальная проекция фронтального следа и горизонтальная проекция горизонтального следа будут лежать в плоскостях проекций и совпадать с самим следом. Фронтальная проекция горизонтального следа и горизонтальная проекция фронтального следа будут лежать на оси проекций. Прямая, расположенная параллельно плоскости проекций, как находящаяся на всем своем протяжении на одинаковом расстоянии от плоскости, следа на ней не имеет. Горизонтальным следом прямой называется некоторая точка H, в которой прямая встречается с горизонтальной плоскостью, а фронтальным – точка V, в которой данная прямая встречается с фронтальной плоскостью

6, Если точка принадлежит прямой, то проекции точки принадлежат соответствующим проекциям этой прямой.

Е сли точка принадлежит прямой, то её проекции должны принадлежать одноименным проекциям этой прямой (аксиома принадлежности точки прямой). Из четырех предложенных на рисунке 28 точек, только одна точка С лежит на прямой АВ. В тех случаях, когда точка и прямая лежат в плоскости уровня (параллельной какой-либо из плоскостей проекций П1, П2 и П3), то вопрос о взаимном расположении прямой и точки решается при построении проекций на плоскость соответственно П1, П2 или П3. Из свойств параллельного проецирования известно, что если точка делит отрезок прямой в данном отношении, то проекции этой точки делят одноименные проекции прямой в том же соотношении.

Зная это условие можно определить принадлежность точки К прямой АВ

7, Прямоугольная проекция прямого угла

Прямой угол проецируется без искажения если обе стороны параллельны плоскости проекций. Если стороны угла не параллельны плоскости проекции, то угол проецируется с искажением на а эту плоскость проекции.

Теорему о проецировании прямого угла мы рассматривали при изучении свойств ортогонального проецирования. Напомним эту теорему. Если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину. Следствие: если прямоугольная проекция угла, одна сторона которого параллельна плоскости проекций, - прямой угол, то проецируемый угол также прямой. Свойства проекций прямого угла имеют важное значение при решении метрических задач на чертеже, таких, как построение взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей определения расстояния между геометрическими фигурами и т.д.

8 , Две прямые в пространстве могут пересекаться, скрещиваться и могут быть параллельны.1. Пересекающиеся прямые Пересекающимися прямыми называются такие прямые, которые имеют одну общую точку.Из инвариантного свойства 5 следует, что проекция точки пересечения проекций прямых а и b есть точка пересечения этих прямых (рис. 3.4).

2. Параллельные прямые - прямые, пересекающиеся в несобственной точке (прямые, лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в бесконечно удаленной точке).

Из инвариантного свойства 6 следует, что проекции параллельных прямых а и b параллельны.3. Скрещивающиеся прямые-это прямые, не лежащие в одной плоскости, это прямые не имеющие ни одной общей точки, точки пересечения проекций этих прямых не лежат на одном перпендикуляре к оси Х (в отличие от пересекающихся прямых.

Если у точек равны две одноименные координаты, то они называются конкурирующими. Конкурирующие точки расположены на одной проецирующей прямой. Соответствующие проекции конкурирующих точек совпадают.

Различают: горизонтально конкурирующие точки А и D, расположенные на горизонтально проецирующей прямой АD ; фронтально конкурирующие точки A и C расположенные на фронтально проецирующей прямой AC; профильно конкурирующие точки A и B, расположенные на профильно проецирующей прямой AB. При проецировании на соответствующую плоскость проекций одна точка «закроет» другую точку, конкурирующую с ней, соответствующая проекция которой окажется невидимой.

9, способы графического задания плоскости. Положение плоскости в пространстве может быть определено: 1. тремя точками, не лежащими на одной прямой линии. 2. прямой линией и точкой, не принадлежащей этой прямой. 3. двумя пересекающимися прямыми. 4. двумя параллельными прямыми. 5. О положении плоскости относительно плоскостей проекций удобно судить по её следам.

10, Следом плоскости называется линия пересечения плоскости с плоскостью проекций. В зависимости, от того с какой из плоскостей проекций пересекается данная плоскость, различают: горизонтальный, фронтальный и профильный следы плоскости.

11,Каждый след плоскости является прямой линией, для построения которых необходимо знать две точки, либо одну точку и направление прямой (как для построения любой прямой).

В зависимости от положения плоскости по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

1. Плоскость не перпендикулярная ни одной плоскости проекций называется плоскостью общего положения. Такая плоскость пересекает все плоскости проекций (имеет три следа: - горизонтальный aП1; - фронтальный aП2; - профильный aП3).

2. Плоскости, перпендикулярные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются проецирующими. В зависимости от того, какой плоскости проекций перпендикулярна заданная плоскость, различают:

2.1. Плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций называется горизонтально проецирующей плоскостью. Горизонтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию, которая одновременно является её горизонтальным следом. Горизонтальные проекции всех точек этой плоскости совпадают с горизонтальным следом.

2.2. Плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций- фронтально проецирующая плоскость. Фронтальной проекцией плоскости a является прямая линия, совпадающая со следом

2.3. Плоскость, перпендикулярная профильной плоскости - профильно проецирующая плоскость. Частным случаем такой плоскости является биссекторная плоскость.

3. Плоскости, параллельные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются плоскостями уровня. В зависимости от того, какой плоскости параллельна исследуемая плоскость, различают: Горизонтальная плоскость, Фронтальная плоскость, Профильная плоскость.

12, Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости. Из элементарной геометрии известно, что прямая принадлежит плоскости, если:

-oна проходит через две точки, принадлежащие плоскости;

-oна проходит через 1 точку, принадлежащую плоскости, и параллельна прямой, лежащей в плоскости.

Из первого положения следует, что если прямая принадлежит плоскости, то ее одноименные следы лежат на одноименных следах плоскости.

Прямые, принадлежащие заданной плоскости и плоскости уровня, называются линиями уровня.

Прямые, принадлежащие плоскости и перпендикулярные к линиям уровня, называются линиями наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций. Иногда линию наибольшего наклона плоскости к плоскости Н называют линией наибольшего ската.

13, Главные линии плоскости - это особые прямые, принадлежащие плоскости, позволяющие более точно выявить ориентацию плоскости относи- тельно плоскостей проекций и упростить решение многих задач.

Главными линиями плоскости являются прямые уровня: горизонталь h, фронталь f и профильная р, а также линии наибольшего наклона, при помощи которых можно определить угол наклона плоскости к плоскостям проекций П1, П2, П3.

П рямые, принадлежащие плоскости и образующие с плоскостью проекций наибольший угол называются линиями наибольшего наклона данной плоскости к плоскости проекций. С помощью линий наибольшего наклона определяют двугранные углы между заданной плоскостью и соответствующей плоскостью проекций.

Прямые плоскости, перпендикулярные соответствующим линиям уровня являются линиями наибольшего наклона.

Линия наибольшего наклона к горизонтальной плоскости проекций называется линией ската. Такое название объясняется тем, что эта линия является траекторией, по которой шарик скатывается с данной плоскости. По отношению к плоскостям П2 и П3 целесообразнее употреблять название линия наибольшего наклона.

Линия ската и её горизонтальная проекция образуют линейный угол j , которым измеряется двугранный угол, составленный данной плоскостью и горизонтальной плоскостью проекций (рис.58). Горизонтальная проекция линии ската плоскости общего положения перпендикулярна горизонтальной проекции горизонталь этой плоскости. Фронтальная и профильная проекции ската строятся по её принадлежности плоскости.

14, Проекцией точки М на некоторой плоскости называют изображение, которое строится в нижеследующей последовательности (рис. 1).

Через данную точку М необходимо провести прямую, которая не параллельна данной плоскости. Точку пересечения данной прямой и плоскости назовем точкой m. Полученная точка m будет являться проекцией точки М на данную плоскость. Прямую Mm называют проектирующей прямой, а данная плоскость называется плоскостью изображения.

Плоскость частного положения - плоскость проходящая через проецирующие прямые, т.е. перпендикулярная к одной или одновременно к двум основным плоскостям проекций. Если плоскость перпендикулярна только к одной плоскости проекций, то она называется проецирующей плоскостью. Существует три вида проецирующих плоскостей:

15, Прямая, параллельная плоскости- прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, принадлежащей данной плоскости.

1 6,Параллельные плоскости--еcли две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

Пусть нам дана плоскость a, заданная треугольником АВС и произвольная точка D. Требуется через точку D провести плоскость b параллельную a (АВС). Для того чтобы через точку D провести плоскость параллельную плоскости a (АВС), достаточно построить две пересекающиеся прямые, параллельные двум пересекающимся прямым плоскости a, так чтобы точка D принадлежала этим прямым. Например, проведём прямую DE || AC, на чертеже D1E1 || А1С1 и D2E2 || А2С2 и прямую DF || AB, на чертеже D1F1 || А1B1 и D2F2 || А2B2. Две пересекающиеся прямые DE и DF определяют плоскость b. Плоскость b || a, так как две пересекающиеся прямые DE и DF, принадлежащие плоскости b, параллельны двум пересекающимся прямым АВ и АС, принадлежащим плоскости a.

17, Если прямая не лежит в плоскости и не параллельна ей, она пересекает плоскость.

Задача на определение точки пересечения прямой с плоскостью сводится к следующему:

1) проведению вспомогательной плоскости (Вспомогательную плоскость рекомендуется выбирать такую, которая даст наиболее простое графическое решение задачи) через данную прямую;

2) нахождению линии пересечения вспомогательной плоскости с данной плоскостью;

3) определению точки пересечения данной прямой с линией пересечения плоскостей, а следовательно, с данной плоскостью.

Определяем видимость прямой а с помощью метода конкурирующих точек

18, Рассмотрим определение точки пересечения прямой с плоскостью частного положения (рисунок 1).

Прямая l пересекает фронтально-проектирующую плоскость Σ. Точка их пересечения K принадлежит и прямой и плоскости, значит, фронтальная проекция K2 лежит на Σ2 и l2. То есть, K2= l2×Σ2, а ее горизонтальная проекция K1 определяется на l1 при помощи линии проекционной связи.

Таким образом, искомая точка пересечения K(K2K1) строится непосредственно без применения вспомогательных плоскостей.

Аналогично определяются точки пересечения прямой с любыми плоскостями частного положения.

19, Пусть нам дана плоскость частного положения a П1 и плоскость общего положения, заданная треугольником АВС. Требуется построить линию пересечения плоскости a с плоскостью АВС.

Теперь обратимся к комплексному чертежу. K1 принадлежит a1 , следовательно K принадлежит a. K1 принадлежит A1B1, а K2 принадлежит A2B2, следовательно K принадлежит AB. Из этих утверждений следует, что K - точка пересечения прямой АВ с плоскостью a. Возьмем точку N и проделаем те же действия. Теперь рассмотрим ABС (заданный пересекающимися прямыми АВ, АС). КN - линия пересечения плоскости ABС с плоскостью a.

2 0,  Построим точку К - точку пересечения прямой общего положения а с плоскостью общего положения , заданную тремя точками А, В, С.

 Алгоритм построения точки пересечения:Например на П₁ проведем через заданную прямуюа₁ вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость _: а    и   перпендикулярна П₁.Построим m₁ - линию пересечения вспомогательной плоскости _ с заданной плоскостью _. Отметим точки 1₁ и 2₁ - точки пересечения прямой m₁ и отрезков А₁В₁ и В₁С₁соответственно.

Построим фронтальную проекцию прямой m, учитывая принадлежность точек 1 и 2 сторонам треугольника АВС. 2,Находим точку К₂ - точку пересечения прямых m₂ иа₂: К₂=m₂   а₂.3,По линии связи находим первую проекцию точки К- точку К₁.

2 1, Пересечение двух плоскостей общего положения

Для построения линии пересечения двух плоскостей a и b необходимо найти две точки, N и M каждая из которых принадлежит обеим плоскостям. Для нахождения точек N и M можно воспользоваться следующим алгоритмом:

Взять две дополнительные плоскости частного положения 1ЧП и 2ЧП;

Определить линии пересечения плоскостей частного положения 1ЧП и 2ЧП с плоскостями общего положения a и b с помощью метода, приведенного в предыдущем пункте;

Определить точки N и M пересечения полученных линий.

Выполним построения: Возьмем плоскости общего положения a и b. Плоскость a задана пересекающимися прямыми a и b. Плоскость b задана параллельными прямыми c и d. Возьмем плоскости частного положения 1ЧП и 2ЧП перпендикулярные к П1. Найдем точки пересечения 1ЧП и 2ЧП с прямыми, задающими плоскости a и b. Опустим линии связи и получим проекции линий пересечения плоскостей на П1. Теперь найдем две точки N1 и M1 пересечения полученных линий (синие на чертеже). Обратите внимание, что нас интересуют точки пересечения тех линий, которые получены пересечением одной плоскости частного положения с двумя общего. То есть, например, точка N при таком построении является точкой пересечения линий пересечения 1ЧП с a и b и соответственно принадлежит и a и b. Поднимаем линии связи и получаем вторые проекции точек M и N.

Точки M и N принадлежат одновременно a и b, поэтому MN - линия пересечения a и b.

22, Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости. Теорема 3.1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Теорема 3.2. Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой.Теорема 3.3. Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны между собой.

Теорема 3.4. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой. Теорема 3.5. Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны между собой.

Перпендикуляром, проведенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок прямой, перпендикулярной данной плоскости, который соединяет данную точку с точкой плоскости.

Теорема 3.6. Если из одной точки вне плоскости проведены к ней перпендикуляр и наклонные, то

длина перпендикуляра меньше длины любой наклонной;наклонные с равными проекциями равны;

из двух наклонных большую длину имеет та, у которой больше проекция.