23, Плоскостей.

По определению: плоскость перпендикулярно другой плоскости, если она перпендикулярно двум пересекающимся прямым этой плоскости. Если плоскость перпендикулярна горизонтальной линии (горизонтали), то она перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций Н Размерные числа и предельные отклонения не допускается пересекать или разделять какими бы то ни было линиями чертежа. Не допускается разрывать линию контура для нанесения размерного числа и наносить размерные числа в местах пересечения размерных, осевых или центровых линий. В месте нанесения размерного числа осевые, центровые линии и линии штриховки прерывают. Размеры детали, относящиеся к одному и тому же конструктивному элементу (пазу, выступу, отверстию и т.п.), рекомендуется группировать на том изображении, на котором геометрическая форма данного элемента показана наиболее полно. Повторять размеры одного и того же элемента на разных изображениях, в технических требованиях не допускается. Размеры нескольких одинаковых элементов детали наносят один раз с указанием на полке линии-выноски количества этих элементов.

2 4, Перпендикулярность прямых

Если одна из прямых является линией уровня, то построение на чертеже прямой, ей перпендикулярной, осуществляется на основе следствия, причем прямые могут скрещиваться.

Таким образом, две взаимно-перпендикулярные прямые (пересекающиеся или скрещивающиеся) тогда и только тогда проецируются на горизонтальную плоскость в виде перпендикулярных прямых, когда хотя бы одна из этих прямых является горизонталью.

25, Способ замены плоскостей проекций

Сущность этого способа заключается в том, что заменяют одну из плоскостей на новую плоскость, расположенную под любым углом к ней, но перпендикулярную к незаменяемой плоскости проекции. Новая плоскость должна быть выбрана так, чтобы по отношению к ней геометрическая фигура занимала положение, обеспечивающее получение проекций, в наибольшей степени удовлетворяющих требованиям условий решаемой задачи. Для решения одних задач достаточно заменить одну плоскость, но если это решение не обеспечивает требуемого расположения геометрической фигуры, можно провести замену двух плоскостей.

Применение этого способа характеризуется тем, что пространственное положение заданных элементов остается неизменным, а изменяется система плоскостей проекций, на которых строятся новые изображения геометрических образов. Дополнительные плоскости проекций вводятся таким образом, чтобы на них интересующие нас элементы изображались в удобном для конкретной задачи положений.

2 6, Способ вращения вокруг проецирующей прямой Этот способ является частным случаем способа плоскопараллельного перемещения, когда точка фигуры описывает дугу окружности, плоскость которой также параллельна плоскости проекций.

Графический алгоритм построения точек в способе вращения вокруг проецирующей прямой отличается лишь тем, что здесь траектория движения точки имеет вид окружности, а не произвольной прямой, как в плоскопараллельном проецировании.

Способ вращения вокруг проецирующей прямой более удобен при решении некоторых задач. Найдем с применением этого метода длину отрезка AB. Отрезок AB спроецируется на П2 в натуральную величину, если он будет ей параллелен. Для этого повернем его вокруг оси, проходящей через точку B до состояния параллельности П2, при этом точка A опишет дугу в горизонтальной плоскости.

2 7, Способ плоско-параллельного перемещения - При использовании способа параллельного движения фигуры приводится в частное положение перемещением в пространстве относительно неподвижной системы плоскости проекции П1, П2 и находим новые проекции фигуры на П1 и П2. Плоскопараллельным перемещением фигур в пространстве называется такое ее перемещение, при котором все точки фигуры перемещаются в параллельном пространстве. При этом строят новые проекции на П1 и П2.

Рассмотрим плоскопараллельное движение треугольника. Пусть треугольник АВС совершает плоскопараллельное движение относительно горизонтальной плоскости проекции. Тогда его вершины перемещаются в горизонтальных плоскостях, а угол наклона плоскости треугольника к П1 при плоскопараллельном движении фигуры относительно горизонтальной плоскости проекций не меняется. Горизонтальная проекция фигуры остается равной самой себе, а горизонтальные проекции ее тоже перемещаются по прямым, перпендикулярным линиям связи.

Аналогично при плоскопараллельном перемещении относительно П2 ортогональная проекция фигуры остается равной самой себе, а горизонтальные проекции ее точек перемещаются по прямым, перпендикулярным линиям связи.

28, Способ вращения вокруг линии уровня

Этот способ применяется в основном для решения задачи преобразования плоскости общего положения в плоскость уровня. Суть способа заключается в том, что плоскость общего положения, поворачивается вокруг прямой уровня до состояния, параллельного горизонтальной плоскости проекций П1 либо фронтальной П2.

Рассмотрим поворот точки А вокруг горизонтали a до уровня горизонтали. Точка А движется по дуге окружности радиуса R с центром в точке O, принадлежащей горизонтали a. Радиус R является гипотенузой прямоугольного треугольника А0А1O, где один катет А1О - горизонтальная проекция радиуса вращения, другой - равен Dz - расстояние между точкой A и прямой a по вертикали. А' - новое положение точки А.

3 2, Построение сечения многогранника плоскостью общего положения

Рассмотрим построение сечения LMN призмы АВСА'В'С' плоскостью общего положения (DEF).

Грани и ребра призмы перпендикулярны П1, а поэтому проецируются на П1 в стороны и вершины треугольника А1В1С1. Для построения фронтальной проекции сечения найдем линии пересечения граней пирамиды с плоскостью DEF.

Алгоритм построения:

Отмечаем точки 11 и 21: 11 = А1В1 Е1D1, 21 = А1В1 Е1F1.

Проводим линии проекционной связи через точки 11 и 21 и находим точки 12 и 22: 12 Е2D2, 22 Е2F2.

Проводим прямую 1222 до пересечения с проекциями ребер пирамиды в точках М2 и L2.

Отмечаем точки 31 и 41: 31 = А1С1 Е1D1, 41 = А1С1 D1F1.

По линиям связи находим точки 32 и 42: 32 Е2D2, 42 D2F2.

Проводим прямую 3242 до пересечения с проекцией ребра в точке N2.

Соединяем точки L2, M2 и N2.

Треугольник L2M2N2– искомая вторая проекция сечения LMN призмы АВСА'В'С' плоскостью общего положения (DEF).

Определяем видимость секущей плоскости и сечения с помощью метода конкурирующих точек.

Если ребра пирамиды являются прямыми общего положения, то можно преобразовать чертеж так, чтобы ребра призмы стали проецирующими. В этом случае можно найти точки пересечения ребер призмы с плоскостью сечения.

33, ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ ПЛОСКОСТЬЮ

Вид фигуры сечения тел вращения плоскостью зависит от положения секущей плоскости.При пересечении кругового цилиндра плоскостью в сечении могут получиться три фигуры сечения цилиндра:а) окружность, если секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра;б) эллипс, если секущая плоскость наклонена к оси цилиндра (рисунок 10б); в) прямоугольник, если секущая плоскость параллельна оси цилиндра (рисунок 10а).

37, ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ

Для построения линии пересечения поверхностей двух многогранников определяют точки встречи ребер одного многогранника с гранями другого. В этом случае каждую грань многогранника рассматривают самостоятельно и построение сводят к определению точек встречи прямых с плоскостью. Для этого проводят проецирующие плоскости через ребра одного из многогранников.

Правило: соединять между собой можно только те точки искомой линии пересечения, которые лежат в одной и той же грани какой-либо из двух данных поверхностей;

каждую точку соединяют только с двумя другими точками. В результате должен получиться замкнутый контур или два замкнутых контура.

36, Плоскость, касательная к поверхности, имеет общую с этой поверхностью точку, прямую или плоскую кривую линию. Плоскость в одном месте может касаться поверхности, а в другом пересекать эту поверхность. Линия касания может одновременно являться и линией пересечения поверхности плоскостью.Плоскость α (рис.123), представленную двумя касательными, проведенными в точке А поверхности Ф, называется касательной плоскостью к поверхности в данной ее точке.Любая кривая поверхности, проходящая через точку А, имеет в этой точке касательную прямую, принадлежащую плоскости α.Не в каждой точке поверхности можно провести касательную плоскость. В некоторых точках касательная плоскость не может быть определена или не является единственной. Такие точки называются особыми точками поверхности, например вершина конической поверхности.

Прямую линию, проходящую через точку касания и перпендикулярную касательной плоскости, называют нормалью поверхности в данной точке. Виды касания: В зависимости от вида поверхности, касательная плоскость может иметь с поверхностью как одну общую точку, так и множество точек. В зависимости от того, с каким случаем касания, мы имеем дело, точки, принадлежащие поверхности подразделяют на эллиптические, параболические и гиперболические:Если касательная плоскость имеет с поверхностью только одну общую точку, то все принадлежащие поверхности линии, проходящие через эту точку, будут расположены по одну сторону от касательной плоскости (рис.123). Такие точки называются эллиптическими.

В случае проведения касательной плоскости к торсовой поверхности, образованной непрерывным перемещением касательной прямой к некоторой пространственной кривой линии (частный случай - коническая поверхность), плоскость будет касаться поверхности по прямой линии – образующей. Точки, принадлежащие этой образующей, называются параболическими

Точки поверхности, в которых касательная плоскость пересекает поверхность, называют гиперболическими (рис.125). Гиперболическая точка принадлежит линии, по которой касательная плоскость пересекает поверхность.

39, Особые случаи построения линии пересечения двух поверхностей вращения

При построении линии пересечения поверхностей вращения — конуса и цилиндра — могут быть различные случаи. На рис. 136 изображены три случая пересечения цилиндра и конуса вращения. В первом случае (рис. 136, а) цилиндр врезается в конус, потому что если вписать в конус сферу с центром в точке пересечения осей поверхностей, то радиус ее будет больше радиуса цилиндра. Все образующие цилиндра пересекаются с поверхностью конуса. Во втором (рис. 136, б) конус врезается в цилиндр, так как сфера, вписанная в цилиндр, пересекает конус. Все образующие конуса пересекают поверхность цилиндра. В третьем (рис. 136, в) сфера, вписанная в одну поверхность, касается второй поверхности, и в пересечении участвуют все образующие и цилиндра, и конуса. В этом случае пространственная линия пересечения поверхностей распадается на две плоские кривые (эллипсы).

Это положение подтверждается теоремой Монжа: если две поверхности второго порядка описаны вокруг третьей поверхности второго порядка, то они пересекаются по двум кривым второго порядка. Такие поверхности имеют две точки, в которых они касаются друг друга, или говорят, что поверхности имеют двойное прикосновение. Линия пересечения двух поверхностей вращения, имеющих двойное прикосновение, распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки прикосновения (рис. 137). Две цилиндрические поверхности вращения одного диаметра касаются друг друга в точках А и В или имеют общие касательные, плоскости Ф1 и Ф2. Линия АВ занимает фронтально проецирующее положение, поэтому плоскости кривых пересечения будут фронтально проецирующими. Эллипсы ACBF и AEBD изображаются

отрезками прямых на фронтальной плоскости проекций и окружностями, совпадающими с вырожденной проекций вертикального цилиндра, на горизонтальной плоскости проекций. Это положение широко используется при изображении пересекающихся труб или отверстий одного диаметра (рис. 1

В конструкциях технических деталей часто при пересечении поверхностей вращения используют сопрягающую поверхность, которая осуществляет плавный переход от одной поверхности к другой.

Чтобы не строить две близко расположенные линии пересечения сопрягающей поверхности с основными поверхностями, на чертеже проводят условно одну линию, выполняя ее тонкой сплошной линией. Эту линию и называют линией перехода. Линия перехода заканчивается в точках пересечения очерковых линий основных поверхностей (рис. 139, а) и заменяется более простыми (циркульными) кривыми.

Пересечение прямой с пирамидой

В ряде случаев решение задачи получается графически проще и точнее, если данную прямую заключить в плоскость общего положения. Обычно это имеет место, если данная прямая или часть ребер поверхности многогранников являются профильными прямыми уровня. Также полезно заключать данную прямую в плоскость общего положения, если в этом случае сечение многогранника имеет значительно меньше вершин по сравнению с сечением многогранника проецирующей плоскостью.