- •9. Сходится ли интеграл ? Ответ обоснуйте
- •7. Применив замену переменной в определенном интеграле, докажите, что для любой четной непрерывной на отрезке функции справедливо равенство . В чем состоит его геометрический смысл?
- •10. Сходится ли интеграл ? Ответ обоснуйте.
- •14. Дайте определение расстояния между точками . Сформулируйте и докажите свойства функции .
- •44. Дайте определение числового ряда и его суммы. Найдите, исходя из определения, сумму ряда при
- •65. Найти значение а, при котором функция является решением дифференциального уравнения - опечатка
- •73. Дайте определения системы линейно зависимых и системы линейно независимых функций. Установить линейную независимость системы функций , , .
- •78. Написать общее и частное решение с неопределёнными коэффициентами для уравнения:
65. Найти значение а, при котором функция является решением дифференциального уравнения - опечатка
69. Дайте определение и приведите пример дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. Приведите уравнение к виду уравнения с разделенными переменными. Одним из наиболее простых, но весьма важных типов дифференциальных уравнений являются уравнения с разделяющимися переменными. Это дифференциальные уравнения вида: y’=f(x)g(y), где f(x) и g(y) – непрерывные функции.
Проверим на однородность функцию:
=> однородны.
Уравнение с разделяющимися переменными.
70. Дайте определение и приведите пример автономного дифференциального уравнения. Сформулируйте свойство решений автономного уравнения. Одним из важных частных случаев дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными являются так называемые автономные уравнения. Это уравнения вида :y’=g(y).
Замечание: Если у*- корень уравнения g(y)=0, то у=у* (у-const) является решением уравнения y’=g(y). Такое решение называется стационарным.
Теорема: Если у=фи(х) – решение автономного дифференциального уравнения, то у=фи(х+С) также является решением этого уравнения.
Пример: y’=cos(2y+2x+6). Делая замену z=2y+2x+6, находим z’=2y’+2. Следовательно, z’=2cosz+2, или z’=4cos2z/2. 71. Дайте определение уравнения Бернулли. Приведите пример.
Дифференциальное уравнение вида y’+p(x)y=f(x)yn (n≠0, n≠1) называется уравнением Бернулли. Пример: y’-y=e6x/y2. Решение: n=-2. Выполним замену z=y3, получим z’=3y2y’. Далее решаем полученное уравнение: z’-3z=3e6x
67. Сформулируйте теорему существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка Проверьте выполнение условий этой теоремы для задачи , Если в некоторой окрестности точки (х0;у0) функция f(x,y) определенная, непрерывна и имеет непрерывную частную производную f’y, то существует такая окрестность точки (х0;у0), в которой задача Коши y’=f(x,y), y(x0)=y0имеет решение, притом единственное.
Подставим в исходное:
Запишем общее решение:
Подставим значения условий для задачи Коши
Ответ: с=3 и у=-3х.
68. Какое решение дифференциального уравнения называется особым? Найдите особое решение уравнения . Особое решение дифференциального уравнения – это некоторая интегральная прямая уравнения, состоящая из особых точек.
Практика:
Решение уравнения, но есть особые решения при y(x)=0.
72. Дайте определение и приведите пример линейного дифференциального уравнения второго порядка. Докажите, что если и – решения линейного неоднородного уравнения, то разность является решением соответствующего линейного однородного уравнения
Линейным уравнением второго порядка называется уравнение y”+p(x)y’+q(x)y=b(x). Пример y”+5y’+6y=4sin(x).
Т.к. Y1(X) и Y2(X) явл решением, то: Y’+p(X)Y=G(X) - верное по усл
Y1’(X)+P(X)Y1(X)=G(X)-верное по усл
Y2’+P(X)Y2(X)=G(x)- верное по усл
Y1’(X)-Y2’(X)+P(X)(Y1(X)-Y2(X)))=0 –это и есть решение.
73. Дайте определения системы линейно зависимых и системы линейно независимых функций. Установить линейную независимость системы функций , , .
Функции y1(x), y2(x), ..., yn(x), определённые на отрезке [a;b], называются линейно зависимыми на [a;b] , если существуют постоянные α1, α2, ..., αn , не равные нулю одновременно и такие, что α1y1(x) + α2y2(x) + ... + αnyn(x) = 0 для всех x из отрезка [a;b].
В противном случае функции y1(x), y2(x), ..., yn(x) называются линейно независимыми.
Линейную зависимость и линейную независимость функций определяют также на (a;b) , (a;b] , [a;b) , на бесконечных промежутках.
Справедливо следующее утверждение.
Функции y1(x), y2(x), ..., yn(x) линейно зависимы на отрезке [a;b] тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является линейной комбинацией других на этом отрезке .
74. Установить линейную зависимость системы функций , , . Пусть функции линейно независимы , тогда составим определитель Вронского:
W(y1, y2,…,yk)=|y1 y2 …. Yk|
| 2 х-1 х+1|
|y’1y’2 …. Y’k| =
| 0 1 1 | =0 | . …………… | |0 0 0 |
|y1(k-1)y2(k-1) …. Yk(k-1)|
значит функции лин зависимы чтд
Данные функции линейно зависимы так первую функцию можно представить в виде линейной комбинации двух других 2= 1*(x+1)+(-1)+(x-1), соответственно можно подобрать такие α1,α2,α3 при которых верно равенство: α1*y1+α2*y2+α3*y3=0
1*(x+1)+(-1)*(x-1)+(-1)*2=0
75. Докажите, что сумма частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка и общего решения соответствующего однородного уравнения является общим решением линейного неоднородного уравнения второго порядка. Общее решение неоднородного уравнения L(y)=f(x)есть сумма частного решения ‾у(х) этого уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения L(y)=0. Доказательство: Покажем сначала, что сумма у(х) частного решения уравнения неоднородного уравнения ‾у(х)и произвольного решения у0(х) однородного уравнения также является решением неоднородного уравнения. Действительно, в силу леммы имеем L(‾y+y0)=L(‾y)+L(y0)=f(x)+0=f(x), что и требовалось доказать. Теперь нам осталось доказать, что всякое решение у(х) неоднородного уравнения есть сумма ‾у(х) и некоторого частного решения у0(х) уравнения L(y)=f(x). Имеем L(у-‾y)=L(y)-L(‾y)=f(x)-f(x)=0.Следовательно, у0(х)=у(х)-‾у(х) – решение уравнения L(y)=0, значит, у(х)=у0(х)+‾у(х), что и завершает доказательство.
Возьмем ур-е (1): . Решением ур-я(1) будет сумма частного и общего решения однородного ур-я .
Док-во. Тогда имеем *: . Возьмем любое решение ур-я (1)**:
Вычтем их ** уравнение *, получим: ЧТД
77. Докажите, что общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка является линейная комбинация фундаментальной системы решений этого уравнения. Пусть у1(х),……, уп(х) – фундаментальный набор решений уравнения L(y)=0, тогда общее решение этого уравнения задается формулой: y=C1y1+…+Cnyn. Доказательство. То, что функция у(х), определяемая формулой
С 1у1(х0)+С2у2(х0)+….+Скук(х0)=0
С1у’1(х0)+С2у’2(х0)+…+ Сkу’k(х0)=0
………………………………………………
С1у1(k-1)(х0)+С2у2(k-1)(х0)+…..+ Сkуk(k-1)(х0)=-0
Является решением уравнения L(y)=0, следует из С1у1(х)+С2у2(х)+….+Скук(х). Покажем теперь что любое решение ѱ (х) уравнения L(y)=0 представимо в виде линейной комбинации функций у1,…,уп. Зафиксируем некоторую точку х0. Введем следующие обозначения ѱ(х0)=у0, ѱ’(x0)=y’0, …., ѱ(n-1)(x0)=y0(n-1) рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений:
С 1у1(х0)+С2у2(х0)+….+Сnуn(х0)=y0
С1у’1(х0)+С2у’2(х0)+…+ Сnу’n(х0)=y0
………………………………………………
С1у1(n-1)(х0)+С2у2(n-1)(х0)+…..+ Сnуn(n-1)(х0)=y0(n-1)
Определителем этой системы является определитель Вронского для функции у1,…уп в точке х0. Ввиду линейной зависимости этих функций данный определитель не равен нулю. Следовательно, у системы
С 1у1(х0)+С2у2(х0)+….+Сnуn(х0)=y0(1.1)
С1у’1(х0)+С2у’2(х0)+…+ Сnу’n(х0)=y0
………………………………………………
С1у1(n-1)(х0)+С2у2(n-1)(х0)+…..+ Сnуn(n-1)(х0)=y0(n-1)
Существует решение (‾С1, ‾С2,….,‾Сп). Тогда функция у(х)=‾С1у1(х)+‾С2у2(х)+…+‾Спуп(х), как это вытекает из (1.1), удовлетворяет тем же начальным условиям. В силу единственности решения задачи Коши имеем ѱ(х)=у(х), т.е. ѱ(х) есть линейная комбинация функции у1,…уп. теорема доказана.