3. Дифференциал функции.

1. Дифференциал функции в точке.

1. Правила дифференцирования

2. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

4. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.

1. Теорема Ролля

Пусть функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], и имеет конечную или бесконечную производную внутри этого сегмента. Пусть, кроме того, f(a) = f(b). Тогда внутри сегмента [a, b] найдется точка ξ такая, что f'(ξ) = 0

Если вещественная функция непрерывна на отрезке   и дифференцируема на интервале  , принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Геометрический смысл

Теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

2. Теорема Лагранжа

Пусть функция   удовлетворяет следующим условиям:

1)       непрерывна на отрезке  ;

2)       дифференцируема на интервале  .

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка  , в которой выполняется равенство: .

Э то означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.

На рис. хорда AB – отрезок, соединяющий точки   и  . Величина   равна тангенсу угла наклона прямой AB.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа заключается в том, что при выполнении условий теоремы внутри отрезка  найдется точка  , в которой касательная, проведенная к графику функции  , параллельна хорде AB. Таких точек может быть и несколько, но одна существует точно.

Следствие. При выполнении условий теоремы Лагранжа  .

3. Теорема Коши

Если функции f (х) и g (х): 1) непрерывны на отрезке [а ; b];  

2)  дифференцируемы в интервале (а ; b);  

3) g'(x) ≠ 0 в этом  интервале,  

то в интервале (а ; b) существует  такая точка с, что имеет место равенство

5.Исследование функции и построение графиков

Сформулировать определения:

1. Производная высшего порядка - Значение d(dy) дифференциала от первого дифференциала при d x = dx, называется вторым дифференциалом функции y = f(x) и обозначается d²y. Таким образом, d²y = d (dy)|d x = dx. Значение d(d^n-1 y) дифференциала от(n-1)-го дифференциала при d x = dx, называется n-м дифференциалом функции y = f(x) и обозначается dⁿy.

2. Критической точкой дифференцируемой функции называется внутренняя точка области определения функции, в которой все её частные производные обращаются в нуль.

3. Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Если у=f(x), то у является убывающей функцией от х тогда, и только тогда, когда dy/dx ≤ 0 при всех значениях х. ( возврастающей: dy/dx > 0)

4. Экстремум - максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.

5. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. Точку называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство f(х0) больше или равно f(х) . Точку называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство f(х0) меньше или равно f(х).

6. Выпуклость, вогнутость. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, б), если все точки кривой лежат НИЖЕ любой её касательной на этом интервале. Кривая обращена выпуклостью вниз на (а, б), если все точки на кривой лежат ВЫШЕ любой её касательной на этом интервале.

7. Точка перегиба функции - внутренняя точка области определения , такая что функция непрерывна в этой точке, существует конечная или определенного знака бесконечная производная в этой точке, и является одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и началом интервала строгой выпуклости вниз, или наоборот. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция имеет разные направления выпуклости.

8. Асимптотой функции называют прямую, к которой приближаются точки графика функции при бесконечном удалении их от начала координат. Есть вертикальная, горизонтальная и наклонная.

Свойства и теоремы:

1. Физический смысл второй производной проясняется из того, что если первая производная f’(x) задаёт мгновенную скорость изменения значений f(x) в момент времени x в момент времени f’(x), задаёт мгновенную скорость изменения значений мгновенной скорости, то есть ускорение значений f(x). Вторая производная определяет скорость изменения скорости или ускорение. Так, если x – координата материальной точки, движущейся со скоростью v, то ускорение этой точки равно a=v’=x’’

2. 3 ) Правило Лопиталя— метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0/0 и 8/8 . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных. Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за

исключением, быть может,

самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

4. Необходимое условие монотонности функции на (а, в) Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a;b) функция не убывала (не возрастала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы производная этой функции была неотрицательной (неположительной) всюду на этом интервале.

4. Достаточное условие возврастания и убывания функции. Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a;b) функция возрастала (убывала) на этом интервале достаточно, чтобы производная была положительной (отрицательной) всюду на этом интервале.

4. Необходимое условие существования экстремума. Пусть точка х0 является точкой экстремума функции f, определенной в некоторой окрестности точки х0.Тогда либо производная эф штрих от икс нулевого не существует, либо эф штрих от икс нулевого равно нулю .