4. Д остаточное условие существования экстремума.

4. Второе достаточное условие существования экстремума. Пусть f’(x0) = 0,если f’’(x0)>0 , то - точка минимума;если f’’(x0)<0 , то - точка максимума.

4. Алгоритм нахождения наиб и наим значения функции на отрезке.

1. Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок [a; b].

2. Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок [a; b]. Для этого, находим производную функции, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни.

3. Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.

4. Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если таковые имеются), а также при x = a и x = b.

5. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее - они и будут искомыми.

4. Достаточное условие выпуклости (вогнутости). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) на множестве X, то функция выпукла вниз (вверх) на этом множестве.

4. Необходимое условие точек перегиба. Вторая производная f''(x) дважды непрерывно дифференцируемой функции в точке перегиба x0 равна нулю, т.е. f''(x0) = 0.

4. Достаточное условие точек перегиба. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через точку x0, в которой f''(x0) = 0 меняет свой знак, то x0 есть точка перегиба ее графика.

6.Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Частными производными функции z = f(x,у) называются пределы отношения приращений функции z = z(х,у) к приращению соответствующего аргумента по направлениям ох или оу при Δх → 0 и Δу → 0 соответственно:

Ч астная производная по х:

при вычислении считают у = const.

Частная производная по у:

при вычислении считают x = const.

Множество G всех пар значений аргументов данной функции двух переменных называется областью определения этой функции.

Ф ункция z = f(x,y) называется непрерывной в точке M0(x0,y0), если она определена в этой точке и ее окрестности и выполняется

Число A называется пределом функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0):

Л инейная (относительно дельта икс и дельта игрик) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается dz:

где дэикс и дэигрик – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям

Точка (х₀; у₀) называется точкой максимума функции z = f(x; y), если всюду в окрестности точки (х₀; у₀) для

= < δ f(x; y) ≤ f(х₀; у₀).

Точка (х₀; у₀) называется точкой минимума функции z = f(x; y), если всюду в окрестности точки (х₀; у₀) для

= < δ f(x; y) ≥ f(х₀; у₀).

Пусть имеется поверхность, заданная уравнением . Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную точку , называется касательной плоскостью к поверхности в точке М0.

Прямая, проведенная через точку поверхности , перпендикулярно к касательной плоскости называется нормалью к поверхности.

Е сли поверхность задана уравнением , то уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке записывается в виде: , а уравнение нормали к поверхности в этой же точке – в виде:

Необходимые условия дифференцируемости: если функция f дифференцируема в точке х0,то у неё в этой точке существуют частные производные по всем переменным. если функция f дифференцируема в точке х0 ,то она непрерывна в этой точке.

Достаточное условия дифференцируемости: Пусть функция f() определена в некоторой окрестности точки х0. Пусть у функции в этой окрестности существуют непрерывные частыне производные по всем переменным, тогда функция f дифференцируема в этой точке.

Н еобходимые условия существования экстремума: или хотя бы одна частная производная не существует.

Д остаточные условия существования экстремума функции двух переменных: Если > 0

т о при а) > 0 функция имеет минимум (min)

в) < 0 функция имеет максимум (max)

Если < 0 то экстремума нет.

Если = 0, то необходимо дополнительное исследование с помощью производных более высоких порядков.