Тема 3. Формули включень і виключень Короткі теоретичні відомості
Нехай
– підмножини множини
.
Позначимо
,
.
Мають місце такі формули. Перша формула
включень і виключень:
.
Друга формула
включень і виключень (для скінчених
множин
):
.
Запишемо окремі
випадки цих формул для п=2
та п=3.
Для зручності множини позначимо А,
В,
С.
Отже, для п=2:
;
.
Для п=3:
;
.
Задачі для самостійного розв’язування
(А) Із 17 студентів групи двоє не знають математики і не люблять дітей, 11 знають математику, 12 люблять дітей. Скільки студентів готові бути вчителями математики (знають математику і люблять дітей)?
(А) Частина жителів міста говорить тільки українською мовою, частина – тільки російською, а частина знає дві мови. Українською говорить 75%, російською – 65%. Скільки відсотків жителів знає дві мови?
(А) Скільки натуральних чисел від 1 до 1000 діляться на 2 або на 3?
(А) Зобразіть кругами Ейлера множину чисел, кратних 6, і множину чисел, кратних 8. Що є перерізом цих множин? Вкажіть яку-небудь множину, яка включає обидві названі.
(А) З 26 студентів групи 18 займаються спортом, 9 – музикою, 6 – і спортом, і музикою. Скільки студентів займаються тільки спортом? Тільки музикою? Ні тим, ні іншим?
(А) В лабораторії дослідили 20 проб колодязної води. Перший лаборант дослідив їх на шкідливі віруси. Він виявив, що лише 5 проб їх не містять. Другий дослідив всі 20 проб на шкідливі хімічні домішки і виявив такі у 14 пробах. Серед цих 14 проб рівно 12 містять також і шкідливі бактерії. Скільки проб були без шкідливих бактерій та хімічних домішок?
(Б) За умови попередньої задачі проведене додаткове дослідження на віруси. Виявилося, що 10 з 20 проб містять віруси, 7 проб – віруси й бактерії, 8 – віруси й хімічні домішки, 6 – і віруси, і домішки, і бактерії. Скільки чистих проб води?
(Б) Із 100 студентів англійську мову знають 42, німецьку – 30, французьку – 26. Англійську і французьку – 10, англійську і німецьку – 5, німецьку і французьку – 5. Всі три мови знають 3 студенти. Скільки студентів не вивчають жодної мови? Скільки студентів вивчають тільки одну мову?
(Б) Протягом 30 днів вересня було 12 дощових днів, 8 вітряних, 4 холодні. 5 днів було дощових і вітряних, 3 – дощові і холодні, 2 – вітряні і холодні, а один день був і дощовий, і вітряний, і холодний. Протягом скількох днів була хороша погода?
(Б) Про 92 гномів відомо, що з них у похід взяли печиво – 47, цукерки – 38, пироги – 42, печиво і цукерки – 28, печиво і пироги – 31, цукерки і пироги – 26, всі три види – 25. А дехто з гномів взяв лише воду. Скільки таких?
(Б) Зобразіть кругами Ейлера множини A, B, C і охарактеризуйте їхні перерізи: а) A={a│a
3},
B={b│b
4},
C={c│c
5};
б) A={a│a
6},
B={b│b
12},
C={c│c
18};
в) A={a│a
2},
B={b│b
3},
C={c│c
4}.(Б) Для визначення впливу реклами на купівлю мийних засобів було проведено опитування. В результаті було встановлено, що при виборі товару 50% осіб керувались рекламою, 30% – власною думкою про якість товару, 40% – порадами друзів. Виявилось, що 10% керувались рекламою та власною думкою, 9% – рекламою та порадами друзів, 15% – власною думкою та порадами друзів, 5% – рекламою, власною думкою та порадами друзів. Скільки відсотків опитуваних керувались: а) тільки рекламою, тільки власною думкою, тільки порадами друзів; б) рекламою, або власною думкою, або порадами друзів?
(Б) Староста курсу здав звіт: «Всього на курсі 45 студентів. З них в футбольній секції займаються 25, в баскетбольній – 30, в шаховій – 28. В футбольній і баскетбольній секціях одночасно займаються 16 студентів, в футбольній і шаховій – 18, в баскетбольній і шаховій – 17, в усіх трьох секціях одночасно займаються 15 студентів.» Звіт не прийняли. Чому?
(Б) Для аналізу попиту населення на побутові прилади було проведено дослідження серед 1000 відвідувачів магазину. В результаті було встановлено, що протягом року 500 осіб купили пральні машини, 160 – електроплити, 350 – телевізори. Виявилось, що 100 відвідувачів купили пральні машини та електроплити, 90 – пральні машини та телевізори, 80 – електроплити та телевізори, 20 – пральні машини, електроплити та телевізори. Визначити, скільки відвідувачів купили: а) принаймні один; б) жодного; в) тільки один з названих побутових приладів?
(В) В таборі в неділю мали проводитись змагання з легкої атлетики. Напередодні прийшов лист з іншого табору: «Добридень, друзі! Ми б хотіли взяти участь в ваших змаганнях. Наша команда має волейболістів, бігунів, стрибунів і метальників. Всі бігуни є стрибунами, а всі стрибуни є або метальниками, або бігунами. Але серед метальників, які є і стрибунами, немає бігунів. Метальників у нас вдвічі менше, ніж стрибунів, і на 2 менше, ніж бігунів. Бігуни складають третю частину всієї команди, а волейболістів вдвічі більше, ніж тих, хто є стрибунами і метальниками одночасно. Ми приїдемо в суботу ввечері. Приготуйте, будь-ласка, місця для нас. Ваші друзі.» Скільки треба приготувати місць?
(В) Хлопчик розповів друзям, що бабуся прислала йому яблука і груші. Деякі фрукти великі, інші маленькі, деякі жовтого кольору, інші зеленого. Серед плодів не було ані маленьких груш, ані маленьких зелених яблук. Яблук було 25, груш – 17. Великих плодів – 32, жовтих – 28. Зелених яблук було на 2 більше, ніж зелених груш. Найсмачнішими хлопчику здалися великі жовті яблука. Скільки їх було?
(В) Кожен учень взяв участь хоча б в одному із запланованих походів, а таких походів було три: до озера, до водоспаду і в гори. З тих, хто ходив до озера, ніхто не був біля водоспаду. Тому до водоспаду пішло тільки 8 чоловік. Всі учні, які були в горах, взяли участь іще хоча б в одному поході. Число учнів, які ходили до озера і в гори, в сумі з числом учнів, які були тільки на водоспаді, було на 1 більше числа тих учнів, які були тільки на озері. Сума потроєного числа учнів, які були тільки на озері, і подвоєного числа учнів, які були на озері та в горах, дорівнює 19. Скільки всього було учнів?
(В) Скільки натуральних чисел від 1 до 1000 не діляться ні на 2, ні на 3, ні на 5?
(В) Скільки натуральних чисел від 1 до 100 не діляться ні на 2, ні на 3, ні на 5, ні на 7?