1 Системы счисления

Система счисления – это совокупность приемов записи чисел с помощью знаков.

Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо знаков: черточек, точек.

Позже, для облегчения счета, эти знаки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Сами того не осознавая, единичной системой счисления пользуются дети, показывая на пальцах свой возраст.

Единичная система – не самый удобный способ записи чисел. Записывать таким образом большие числа неудобно, да и сами записи при этом получаются очень длинными. С течением времени возникли иные, более удобные, системы счисления.

Для представления чисел используются непозиционные и позиционные системы счисления.

Таблица 1 – Сравнительная характеристика систем счисления

позиционная	непозиционная
значение каждой цифры зависит от ее положения в числе	значение каждой цифры не зависит от ее положения в числе
простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел	существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел; невозможно представлять дробные и отрицательные числа; сложно выполнять арифметические операции, т.к. не существует алгоритмов их выполнения
Примеры: вавилонская (60 знаков) для измерения времени (в одной минуте 60 секунд), двенадцатеричная (дюжина, в сутках две дюжины часов)	Примеры: египетская, алфавитные системы (греческая, славянская), римская (7 знаков: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000))

 Возможно множество позиционных систем, так как за основание системы счисления можно принять любое число не меньшее двух. Наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т. д.).

Зная основание системы счисления и номер разряда цифры, любое число можно разложить по степеням основания, например в десятичной системе

.

Здесь:

• 1, 7, 3 – цифры числа,

• 10 – основание системы счисления,

• 2, 1, 0 – ( ), где – номер разряда.

Если число не целое, то у цифр, стоящих после запятой, номер разряда выражается отрицательным числом, начиная с –1.

Например, десятичное число 4718,63 в развернутой форме запишется так:

.

Такая запись называется расширенной или полной. Данное правило распространяется на все остальные системы счисления.

Для указания, к какой системе счисления относится число, внизу пишут индекс, например, (число записано в двоичной системе счисления).

Таблица 2 – Позиционные системы счисления

Система счисления	Алфавит	Основание
двоичная	0, 1	2
десятичная	0, 1, … 9	10
восьмеричная	0,1, ... 7	8
шестнадцатеричная	0, 1, … 9, A, B, C, D, E, F	16