1.1 Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления основание . Возможные цифры 0, 1. Двоичное число представляет собой цепочку из нулей и единиц. При этом оно имеет достаточно большое число разрядов. Быстрый рост числа разрядов – самый существенный недостаток двоичной системы счисления.

        Записав двоичное число 1001,1 в развернутом виде и произведя вычисления, получим это число, выраженное в десятичной системе счисления:

.

1.2 Восьмеричная система счисления

В восьмеричной системе счисления основание . Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Записав восьмеричное число 7764,1 в развернутом виде и произведя вычисления, получим это число, выраженное в десятичной системе счисления:

.

1.3 Шестнадцатеричная система счисления

В шестнадцатеричной системе счисления основание . Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0, 1, … 9. Для записи остальных цифр (10, 11, 12, 13, 14 и 15) обычно используются первые пять букв латинского алфавита.

Таким образом, запись в шестнадцатеричной системе счисления означает:

.

2 Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую

При переводе чисел из десятичной системы счисления в любую другую необходимо перевести целую и дробную части отдельно, а затем объединить результаты в новое число.

Целая часть переводится путем деления на основание системы счисления до тех пор, пока частное от деления и остатки не станут меньше основания новой системы счисления. Результатом перевода будут являться все остатки и частное, записанные справа налево.

П ример: перевести число 575 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Решение:

►Переведем число в двоичную систему счисления:

5 – 75		2
574	– – – – – – – –	287		2
1		286		143		2
		1		142		71		2
				1		70		35		2
						1		34		17		2
								1		16		8		2
										1		8		4		2
												0		4		2		2
														0		2		1
																0

Примечание: при делении 575 на 2 (основание системы счисления) получаем частное 287 и остаток 1. Полученное частное снова делим на 2, поскольку оно больше основания системы счисления. При делении 287 на 2 получаем частное 143 и остаток 1. Поскольку частное вновь оказалось больше основания двоичной системы счисления, то продолжаем процесс деления. Завершаем процедуру деления, когда полученное частное и остаток оказываются меньше основания двоичной системы счисления.

Для окончательной записи результата перевода числа в новую систему счисления все полученные остатки и последнее частное записываем справа налево:

.

Аналогично переводится число в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Перевод в восьмеричную систему счисления:

5 – 75		8
568	– –	71		8
7		64		8		8
		7		8		1
				0

.

Перевод в шестнадцатеричную систему счисления:

5 – 75		16
568	–	35		16
15		32		2
		3

.

Примечание: числу 15 в шестнадцатеричной системе счисления соответствует латинская буква F.◄

Дробная часть переводится путем умножения дробной части исходного числа на основание системы счисления. При этом целая часть полученного произведения заносится в дробный разряд искомого числа, а дробная часть вновь умножается на основание системы счисления.

Пример: перевести число 0,173 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Решение:

►Перевод в двоичную систему счисления:

	0,	346
	0,	692
	1,	384
	0,	768
	1,	536
	1,	072
	0,	144
	0,	288

Результат:

.

Примечание: при переводе дробной части может получаться периодичная дробь. Если такая дробь не появилась, то будем ограничиваться восемью знаками после запятой.

Перевод в восьмеричную систему счисления:

	1,	384
	3,	072
	0,	576
	4,	608
	4,	864
	6,	912
	7,	296
	2,	368

Результат:

.

Перевод в шестнадцатеричную систему счисления:

	2,	768
	12,	288
	4,	608
	9,	728
	11,	648
	10,	368
	5,	888
	14,	208

Результат:

.◄

Обратный перевод чисел из любой системы счисления в десятичную осуществляется по формуле расширенной записи числа. По этой же формуле осуществляется проверка правильности перевода из десятичной системы в любую другую.

Пример: выполнить проверку перевода числа 575 в двоичную систему счисления, а числа 0,173 – в восьмеричную.

Решение:

►

◄