4.14. Интегрирование таблично заданных функций
Пусть дана последовательность пар чисел
которую мы будем интерпретировать как таблицу точных значений некоторой (неизвестной) функции :
.
Требуется вычислить интеграл
.
К наиболее широко используемым интерполянтам относятся полиномы, кусочно-полиномиальные, и в частности кусочно-линейные функции, эрмитовы кубические функции и сплайны. Кусочно-полиномиальные функции дают наиболее простые квадратурные правила.
Кусочно-линейный интерполянт:
Поскольку функция
линейна
на отрезке
,
её можно проинтегрировать точно:
. Отметим,
что если точки
расположены на равном расстоянии друг
от друга, то мы получим составное правило
трапеций, а в случае произвольных
- обобщенное правило трапеций.
4.15. Эрмитова кубическая квадратура
Если в качестве
интерполянта использовать эрмитову
кубическую функцию
,
получим
,
где
Единственный важный
частный случай – это случай равноотстоящих
узлов. При этом все
,
за исключением
и
,
обращаются в нуль, а сумма
становится составным правилом трапеций.
Таким образом, приходим к результату:
;
4.16. Двойные и тройные интегралы
Формулы для двух- и трехмерных случаев имеют вид
Литература
Арушанян И.О., Чижонков Е.В. Материалы семинарских занятий по курсу “Методы вычислений” / под ред. Арушаняна О.Б. _ М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 1999.
Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975.
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.
Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Справочное пособие. Киев: Наукова думка, 1968.
Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.
Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998.
Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.
Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. М.: Наука, 1977.
Forsythe G. E., Malcolm M. A., Moler C. B. Computer Methods for Mathematical Computations. Prentice-Hall, 1977.
Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений / Пер. с англ. М.: Мир, 1980.177с.
Справочник по специальным функциям: Пер. с англ./Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М.: Наука, 1979.
Ветчинкин В.П. Новые формулы численных квадратур / В.П. Ветчинкин, Ф.М. Коган. – М.; Л.: ОГИЗ. Гос. изд-во технико-теорет. лит., 1949. – 72 с. – Библиогр.: с. 72.
Calvetti, D. Computation of Gauss-Kronrod Quadrature Rules [Текст] / D. Calvetti, G.H. Golub, W.B. Gragg, L. Reichel // Mathematics of Computation. – 2000. – V. 69. – No 231. – P.P. 1035-1052.
Gander, W. Adaptive Quadrature – revisited [Текст] / W. Gander, W. Gautschi // BIT Numerical Mathematics. – 2000. – V.40. – No 1. – P.P. 84-101.
Shampine, L.F. Vectorized Adaptive Quadrature in MATLAB [Текст] / L.F. Shampine // Journal of Computational and Applied Mathematics. – 2008. – V. 211. – P.P. 131–140.
Бахвалов, Н. С. Численные методы [Текст] / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. – М.: Бином. Лаборатория знаний. – 2003.
Кронрод, А.С. Узлы и веса квадратурных формул: Шестнадцатизначные таблицы [Текст] / А.С. Кронрод. – М.: Наука. – 1964.
Крылов, В.И. Приближённое вычисление интегралов [Текст] / В.И. Крылов. – М.: Наука. – 1967.
Суетин, П.К. Классические ортогональные многочлены [Текст] / П.К. Суетин. – М.: Наука. – 1979.