Метод конечных разностей для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка

Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение y^'' = f(x,y,y^') при линейных краевых условиях α₀y(a) − α₁y^'(a) = A,β₀y(b) + β₁y^'(b) = B. Возьмем на отрезке [a,b] систему равноотстоящих узлов x₀ = a,x_k = x₀ + kh(k = 1,2,...,n − 1) с некоторым шагом и заменим приближенно уравнение и краевые условия системой

.

Получаем нелинейную систему n + 1 уравнений с n + 1 неизвестными y_k(k + 0,1,2,...,n). Обозначим

.

Решение системы находим методом итераций по следующим формулам:

.

Здесь индекс r наверху означает номер приближения. На каждом шаге итераций приходится решать систему линейных алгебраических уравнений. Используя специальный вид этой системы, можно дать ее решение в явном виде: ,где a,b,A,B,α₀,α₁,β₀,β₁ известны,а Δ и g_ik вычисляются по формулам ,

Заметим, что в правой части формулы только зависит от номера итерации. Таким образом, отыскание решения системы сводится к достаточно простой итерационной схеме.

Метод Галеркина

Пусть имеем линейную краевую задачу. Обозначим

Пусть на отрезке [a,b] задана система базисных функций u₀(x),u₁(x),...,u_n(x),..., удовлетворяющая следующим условиям.

1) Система u₀(x),u₁(x),...,u_n(x),..., является ортогональной, то есть

2) Система является полной, то есть не существует никакой другой отличной от нуля функции, ортогональной ко всем функциям u_i(x)(i = 0,1,2,....

3) Конечная система базисных функций выбирается так,чтобы функция u₀(x) удовлетворяла неоднородным краевым условиям Γ_a[u₀] = A,Γ_b[u₀] = B,а функции u_i(x)(i = 0,1,2,...,n) удовлетворяли бы однородным краевым условиям Γ_a[u_i] = Γ_b[u_i] = 0,(i = 0,1,2,...,n) .Решение краевой задачи будем искать в виде . Из условий следует, что эта функция удовлетворяет краевым условиям.

Рассмотрим выражение, называемое невязкой: Выберем коэффициенты c_i таким образом, чтобы значение интеграла от квадрата невязки было наименьшим. Доказано, что это достигается лишь в том случае, если невязка R(x,c₁,c₂,...,c_n) ортогональна ко все базисным функциям u_i.

Записываем уравнение ортогональности: или в более подробной записи Мы получили систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов c_i.

Заметим, что при выборе базисных функций условие ортогональности не является обязательным, если подобрать коэффициенты из условия минимальности интеграла. Так, например, взяв за основу полную систему функций, ортогональных на отрезке [a,b] , можно выбрать в качестве базисных функций линейные комбинации функций из этой системы. Достаточно лишь, чтобы выбранные функции были линейно независимы на отрезке [a,b].

Метод коллокации

Решение задачи ищем в виде ,где u_i(x)(i = 0,1,2,...,n) -линейно независимые функции. Потребуем, чтобы невязка обращаясь в нуль на некоторой системе точек x₁,x₂,....,x_n отрезка [a,b] , называемых точками коллокации, причем число таких точек должно равняться числу коэффициентов c_i в выражении.Тогда для определения c₁,c₂,...,c_n получаем систему уравнений

.

Метод коллокации можно применять и для приближенного решения нелинейных дифференциальных уравнений y^'' = f(x,y,y^') с линейными краевыми условиями. В этом случае невязка имеет вид R(x) = y^'' − f(x,y,y^'), а система уже будет системой нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных c₁,c₂,...,c_n.