- •§1. Учет погрешностей вычислений.
- •§2. Оценка погрешностей результатов действий над приближенными значениями чисел. (Строгий учет погрешности)
- •§3. Приближенные вычисления без учета погрешностей.
- •§4. Связь между числом количества верных цифр и относительной погрешностью.
- •§5. Прямая задача теории погрешностей (функции от приближенных значений аргументов).
- •§6. Обратная задача теории погрешностей.
- •Принцип равных влияний
- •§7. Метод границ.
- •§8. Математические модели и численные методы.
- •§9. Понятие корректно поставленной и некорректно поставленной задач.
- •§10. Вспомогательные сведения из функционального анализа.
- •§11. Решение уравнений с одним неизвестным. Дихотомия.
- •§12. Метод простой итерации для решения алгебраических и трансцендентных уравнений.
- •По соседним приближениям
- •По невязке
- •§13. Метод Ньютона. Решение уравнений с одной переменной.
- •§14. Метод хорд. Метод секущих.
- •§15. Метод Гаусса решения систем уравнений.
- •§16. Метод квадратного корня.
- •Литература
§3. Приближенные вычисления без учета погрешностей.
Правило 1. Для того, чтобы вычислить алгебраическую сумму приближенных слагаемых нужно:
среди слагаемых выбрать наименее точное (имеет наименьшее число разрядов после запятой);
все остальные слагаемые округлить, сохраняя один запасной разряд, следующий за последним разрядом выделенного слагаемого;
сложить полученные после округления числа;
округлить полученный результат до предпоследнего разряда.
Пример. S=2.737+0.77974+27.1+0.283 2.74+0.78+27.1+0.28 30.90 30.9.
Определение 1. Значащими цифрами в десятичной записи числа называется все его цифры кроме нулей, записанных слева от первой цифры не равной 0.
0,00237 – 3 значащие цифры;
0,02000 – 4 значащие цифры.
Правило 2. Для того, чтобы вычислить произведение (деление) приближенных чисел нужно:
выделить сомножитель, содержащий наименьшее число значащих цифр;
округлить остальные сомножители, оставляя на одну значащую цифру больше, чем в выделенном сомножителе;
произвести умножение (деление);
округлить полученный результат, сохраняя столько значащих цифр, сколько их в выделенном сомножителе.
Пример. Р=3,34*0,7*4,748=4,7*3,3*0,7 10,657 1* .
Правило 3. При возведении приближенного значения в квадрат или куб, при извлечении квадратного или кубического корня, в результате следует оставлять столько значащих цифр, сколько их имеет основание.
Правило 4. Если число является результатом промежуточных действий, то следует сохранить в нем на 1-2 цифры больше, чем указано в правилах 1-3.
§4. Связь между числом количества верных цифр и относительной погрешностью.
Пусть .
Определение. Цифра приближенного значения а называется верной, если модуль его погрешности не превосходит половины единицы этого разряда.
.
Очевидно, что все цифры, стоящие слева от верной цифры – верные.
Пример. Пусть х=27,421, а=27,381, .
Выясним, какие цифры верные в приближении а?
4 – , следовательно, 4 – неверная;
8 – , следовательно, 8 – неверная;
3 – , следовательно, 3 – верная.
3,2,7 – верные цифры.
Пусть известно количество n верных значащих цифр в приближении а, тогда а запишем:
.
Так как цифра, стоящая в разряде -(n-1) верна, то погрешность
,
тогда .
В качестве границы относительной погрешности можно взять .
Итак, доказана теорема 1.
Теорема 1. Если приближение имеет n верных значащих цифр, то число является границей его относительной погрешности.
Теорема устанавливает связь между числами верных значений и его относительной погрешностью.
Замечание. Пусть приближение имеет n верных значащих цифр и – его первая значащая цифра, тогда число является границей относительной погрешности.
Пример. .
Итак, граница относительной погрешности приближенного значения зависит от первой значащей цифры , количества верных цифр приближения, но не зависит от порядка приближения.
Теорема 2. Если граница относительной погрешности приближения равна , то приближение имеет не менее n значащих цифр.
Доказательство. Пусть - первая значащая цифра приближения а и n – порядок, тогда .
Из определения следует, что –(m-1) – цифра, записанная в этом разряде верная, цифры, записанные левее тоже верные, то есть m верных цифр.
ЧТД.
Пример. Если известно, что относительная погрешность приближения , то согласно теореме 2, это приближение имеет ровно 3 верные значащие цифры.
, следовательно, по теореме 2, приближение имеет не менее 3-х верных значащих цифр.