§5. Прямая задача теории погрешностей (функции от приближенных значений аргументов).

Пусть функция определена и непрерывно-дифференцируема по всем переменным в области .

Переменные заданы своими приближениями:

и точка

Известна погрешность элементов . Необходимо оценить погрешность .

.

Предположим, что малы, поэтому их произведениями, квадратами и более высокими степенями можно пренебречь.

Если , то последнюю часть можно поделить на функцию

.

Пример. Вычислить величину погрешности приближенного значения большего корня уравнения .

В приближенной записи используют только верные цифры, обусловленные погрешностью приближенных значений коэффициентов.

,

.

Теперь обозначим .

Рассмотрим

.

§6. Обратная задача теории погрешностей.

Все задачи теории погрешностей делятся на прямые и обратные.

Прямая задача: определить погрешность данной функции от приближенных значений аргументов, заданных с известной относительной погрешностью или с заданной точностью.

Обратная задача: какими должны быть относительная и абсолютная погрешности, чтобы модуль относительной или абсолютной погрешности заданной функции не превышал заданной величины.

Решение обратной задачи.

Пусть определена и непрерывно-дифференцируема в области и точка .

С какой точностью следует взять приближенные значения для аргументов , чтобы погрешность значения функции не превышала по модулю .

– известно, найти .

Существуют различные подходы к решению таких задач.

1. Принцип равных влияний

заключается в предположении, что погрешности всех аргументов вносят одинаковые доли в погрешности функции, то есть частные дифференциалы равны между собой по модулю:

2. Предполагают, что погрешности всех аргументов равны , тогда

.

Пример. С какой точностью следует взять дроби, чтобы сумма S могла быть получена с точностью до 0,001?

Решение.

Обозначим

1-й принцип

.

Сколько знаков после запятой нужно брать в дробях, чтобы получилась эта погрешность. Дроби необходимо представить в десятичном виде та, чтобы модуль не превосходил 0,00025, т.е. четырьмя десятичными знаками после запятой.

§7. Метод границ.

Существуют различные способы оценки точности приближенных вычислений:

• строгий учет погрешностей;

• вычисления без учета погрешностей;

• метод границ.

Метод границ позволяет установить границы, в которых находится значение, вычисляемое по функции, если известны границы, в которые заключены значения параметров, входящих в формулу.

– нижняя граница х;

– верхняя граница х

х – число.

Теорема 1. Сумма верхних границ слагаемых является верхней границей их сумм. Сумма нижних границ слагаемых является нижней границей их суммы.

.

Пример.

Теорема 2. Разность верхней границы уменьшаемого и нижней границы вычитаемого является верхней границей разности. Разность нижних границ уменьшаемого и верхней границы вычитаемого является нижней границей разности.

Доказательство.

,

,

сложим данные неравенства и получим результат.

ЧТД.

Пример.

Теорема 3. Пусть нижняя граница сомножителей неотрицательна, то произведение нижних границ сомножителей является нижней границей их произведения, а произведение верхних границ сомножителей является верхней границей их сомножителей.

Пример.

.

Теорема 4. Если и n – целое положительное число, то

,

.

Теорема 5. Если НГ делителя положительна, то частное ВГ делимого и НГ делителя является ВГ частного чисел; частное НГ делимого и ВГ делителя является НГ частного

.

Доказательство.

Перемножим и получим .

ЧТД.

Пример. Вычислим значение , где .

Действие	Содержимое	НГ	ВГ
(1)	x	2.57	2.58
(2)	y	1.45	1.46
(3)	z	8.33	8.34
(1)+(2)	x+y	4.02	4.04
(1)-(2)	x-y	1.11	1.13
		9.24	9.43
		2.28	2.35