2.3. Тензоры произвольного ранга

1. Поскольку тензоры второго ранга есть элементы векторного пространства, к ним тоже применима операция диадного умножения. Можно убедиться, что диадное умножение вектора на тензор второго ранга даст элемент векторного пространства, образованного всеми линейными комбинациями триад и являющегося 27-мерным. Диадное умножение двух тензоров второго ранга дает элемент 81-мерного векторного пространства всех линейных комбинаций квадриад и т.д. Количество сомножителей в диадном произведении векторов называется рангом тензора (или рангом тензорного пространства). Ранг тензорного пространства указывается в его обозначении в верхнем индексе, например, — пространство тензоров второго, — третьего, — четвертого ранга над пространством и т.д. Если тензор разлагается по базису из полиад, его ранг легко определить по числу индексов, например, для количество индексов, а следовательно и ранг тензора, равны трем.

Формально векторы можно считать тензорами первого ранга, а скаляры — тензорами нулевого ранга, при этом в первом случае тензорное пространство порождено диадным произведением трехмерного векторного пространства и поля действительных чисел R (являющегося одномерным векторным пространством), а во втором — диадным произведением двух R.

2. Независимо от ранга тензоры (в общем смысле, включая векторы и скаляры) бывают двух типов — полярные и аксиальные. Точное определение этих терминов мы сможем дать, только когда изучим ортогональные преобразования. Здесь же ограничимся интуитивным, физическим, определением. Все тензоры, с которыми мы работаем, являются математическими образами физических объектов. Последние всегда определяются относительно какой-то, в общем произвольной, системы отсчета. (Отсюда следует, что в определении любого физического объекта присутствует доля произвола, вызванная выбором системы отсчета, но делать иначе мы не умеем, ведь любое наблюдение субъективно). Пусть мы рассматриваем две системы отсчета, отличающиеся друг от друга только ориентацией (правая и левая) реперов. Так вот, любой физический объект при изменении ориентации системы отсчета либо не изменяется (тогда он называется полярным), либо меняет свое направление/знак на противоположное (тогда он называется аксиальным).

Примерами полярных объектов являются векторы скорости, силы, напряженности электрического поля, аксиальных — векторы угловой скорости, момента силы, напряженности магнитного поля.

Читателю предлагается показать аксиальность векторного произведения полярных векторов и смешанного произведения полярных векторов. Что изменится, если среди сомножителей присутствуют аксиальные векторы (рассмотреть все возможные случаи)? В п.2.4 будет определен аксиальный вектор тензора, который аксиальным в случае полярного тензора и полярным в случае аксиального.

Важно заметить, что и полярные, и аксиальные тензоры есть тензоры в полном смысле этого слова, т.е. удовлетворяют определению тензора, преобразуются при замене базиса (в том числе со сменой ориентации) по установленным выше законам и т.д. Однако полярные и аксиальные тензоры одного ранга принадлежат разным пространствам и складывать их мы не имеем права.

3. Определим аксиальный тензор третьего ранга, называемый тензором Леви – Чивиты,

, , , (2.3.1)

где , если базисные векторы образуют правую тройку, и в противном случае.

Данный тензор позволяет дать безиндексные определения операциям векторного и смешанного умножения:

, (2.3.2)

(2.3.3)

4. С помощью тензора Леви - Чивиты любому тензору второго ранга T можно поставить в соответствие ассоциированный вектор

. (2.3.5)

Данный вектор является аксиальным, если тензор полярный, в противном случае его ассоциированный вектор является полярным.

Тензор второго ранга T симметричен тогда и только тогда, когда его ассоциированный вектор равен нулю. Докажем необходимость

.

Достаточность

;

свернув последнее равенство с , получаем

,

что эквивалентно симметрии T.

Поскольку симметричная часть тензора второго ранга есть симметричный тензор, в силу последнего свойства

,

то есть ассоциированный вектор тензора однозначно определяется его антисимметричной частью. По этой причине чаще рассматривают ассоциированные векторы антисимметричных тензоров.

Если A — антисимметричный тензор, то его можно однозначно найти по его ассоциированному вектору a

, где . (2.3.6)

Таким образом, ассоциированный вектор a антисимметричного тензора A и сам этот тензор связаны взаимно однозначно.

Для антисимметричного тензора A и ассоциированного ему вектора a справедливы свойства

(2.3.7)

5. Понятия симметрии и антисимметрии определяются и для тензоров произвольного ранга .

С этой целью сначала определим операцию транспозиции тензора по некоторой паре индексов, которой называется перестановка местами двух любых индексов (или соответствующих базисных векторов) в разложении тензора. Пример транспозиции по индексам 1,3:

(2.3.8)

Раскладывая исходный и транспонированный тензоры в одном базисе, (2.3.8) записывается в виде

. (2.3.9)

Операция транспозиции тензора линейна (рекомендуется показать). Для тензора второго ранга существует единственная транспозиция, а для тензора ранга p число транспозиций равно .

Тензор называется симметричным по некоторой паре индексов, если он равен тензору, транспонированному по этой паре индексов, и антисимметричным по некоторой паре индексов, если он равен тензору, транспонированному по этой паре индексов, взятому с обратным знаком. Например, тензор симметричен (верхний знак) или антисимметричен (нижний знак) по 1-му и 3-му индексам при

. (2.3.10)

В (2.3.10) для каждого знака заключены ограничений.

Операции симметрирования и альтернирования тензора произвольного ранга по паре индексов понятны из примеров, относящихся к первому и второму индексам:

, ,

и первому и третьему индексам:

, .

Тензор, симметричный (антисимметричный) по любой паре индексов, называется просто симметричным (антисимметричным).

Для тензора второго ранга данные условия имеют вид (2.2.15)

,

а для тензора третьего ранга — вид

.

Операции симметрирования и альтернирования тензора ранга p записываются в компонентной форме следующим образом:

(2.3.11)

где есть деленная на p! сумма компонент, образованных всеми перестановками индексов, есть деленная на p! сумма всех компонент, взятых с положительным знаком, с четными перестановками индексов и компонент, взятых с отрицательным знаком, с нечетными перестановками индексов, а аналогичные скобки, примененные к базисным полиадам, означают то же самое.

Для тензора третьего ранга (2.3.11) принимает вид

(2.3.12)

Отметим, что для тензора третьего ранга не существует разложения на симметричную и антисимметричную части, но существует представление

.

6. Выясним, сколько независимых компонент имеет антисимметричный тензор из пространства . Сначала рассмотрим пример антисимметричного . Из (2.2.15) и при i = j имеем , поэтому матрица компонент имеет вид

и три независимых компоненты.

Для антисимметричного последовательно рассмотрим случаи .

При все компоненты антисимметричного тензора равны нулю.

Доказательство. Легко показать, что компонента антисимметричного тензора, имеющая два совпадающих индекса, равна нулю: из (3.3) при i = k . Матрица компонент имеет p индексов, каждый из которых принимает значения от 1 до n, и в рассматриваемом случае, , для любого набора индексов их повторения неизбежны.

При антисимметричный тензор имеет одну независимую компоненту.

В данном случае существует n! перестановок различных индексов 1,2,...,n по n позициям, дающим ненулевые компоненты. Половина из них (полагаем, что n  2) представляет собой четные перестановки (1234...n), другая — нечетные. Индексы всех ненулевых компонент получаются транспозициями индексов компоненты T_123...n, и по определению антисимметричного тензора они равны T_123...n.

При антисимметричный тензор имеет независимых компонент.

Так как все компоненты тензора, получаемые четными и нечетными перестановками некоторой совокупности p индексов, совпадают с точностью до знака (см. выше), отличающимися будут только компонент, отличающихся составом индексов.

Количество независимых компонент антисимметричного тензора из представляет собой размерность подпространства всех антисимметричных тензоров из .

Рассмотренный ранее пример антисимметричного тензора из действительно показал наличие у него независимых компонент. В п.2.2.12 было установлено, что все девятимерное пространство представляется прямой суммой ортогональных подпространств антисимметричных и симметричных тензоров. По только что доказанному размерности этих пространств есть соответственно три и шесть.

Антисимметричные тензоры из имеют согласно доказанному одну независимую компоненту, поэтому пространство таких тензоров одномерно. Поскольку тензор Леви - Чивиты является антисимметричным тензором третьего ранга, любой антисимметричный тензор из представляется в виде

. (2.3.13)

Рекомендуется самостоятельно выяснить число независимых компонент симметричных тензоров из .

7. Тензор ранга можно воспринимать в виде полилинейной формы:

(2.3.14)

(индексы ij...m не обязательно в порядке алфавита). Внешней формой называется полилинейная форма, соответствующая антисимметричному тензору. Внешние формы, образованные антисимметрированием полиад, имеют связь с определителями:

,

и т.д. (доказательство предоставляется провести читателю).

8. В теории упругости для записи обобщенного закона Гука используют тензор жесткостей четвертого ранга, обладающий следующей симметрией:

(2.3.15)

Тензоры с такой симметрией называют полусимметричными.

В дифференциальной геометрии используется тензор Римана - Кристоффеля четвертого ранга, имеющий симметрию

(2.3.16)

Обратите внимание, что ограничения в (2.3.15) и (2.3.16), вынесенные во вторую строчку, записываются с использованием двухкратной транспозиции.

Читателю предлагается подсчитать число независимых компонент данных тензоров.