110

7. Тензорный анализ

7.1. Аффинное пространство

Аффинным (или точечным) пространством называется непустое множество, для элементов которого выполняются следующие аксиомы:

а) каждой упорядоченной паре элементов может быть поставлен в соответствие единственный вектор (n-мерного векторного пространства);

б) каждому элементу и вектору может быть поставлен в соответствие единственный элемент , такой, что ;

в) для любых трех элементов .

Элементы аффинного пространства называются точками.

Из данных аксиом следует, что если зафиксировать произвольную точку , то точки пространства и векторы пространства будут находиться во взаимно-однозначном соответствии, а точке будет соответствовать нулевой элемент пространства . В дальнейшем изложении будем рассматривать случай n = 3, чаще используемый в приложениях.

7.2. Декартовы системы координат в аффинном пространстве

Выберем произвольные точку и базис . Совокупность { ,  } (короче (A, a_i)) называется координатным репером в . Любой точке тогда можно сопоставить вектор пространства , компоненты этого вектора в базисе , называются декартовыми (или прямолинейными) координатами точки M. Вектор называют радиус-вектором точки M.

Зафиксировав какой-либо другой координатный репер (B, b_i) в , можно поставить в соответствие той же самой точке другие декартовы координаты . Из аксиом а),в) аффинного пространства следует, что векторы (и им противоположные) принадлежат одному векторному пространству и . Раскладывая левую часть по базису b_i, а правую — по базису , будем иметь . Раскладывая , окончательно получаем закон связи декартовых координат точки

, (7.1)

где матрица не вырождена по утверждению 1.1.

Матрица и вектор-столбец в (7.1), а значит и сам этот закон, не зависят от выбора точки , а зависят только от выбора пары координатных реперов (A, a_i) и (B, b_i). По этой причине далее мы будем называть координатный репер декартовой системой координат в . Преобразование (7.1) декартовых систем координат в называется аффинным. Рассмотрим множество всех аффинных преобразований.

Точка M в каком-либо третьем репере (C, c_i) имеет координаты , связанные с законом

, (7.2)

где не вырождена. Обращая (7.1), получим

, (7.3)

где (очевидно, невырожденная), . Подставляя (7.3) в (7.2), получаем закон связи декартовых координат точки M при последовательном осуществлении двух аффинных преобразований

, (7.4)

где есть компоненты невырожденной матрицы, .

Видно, что (7.4) — также аффинное преобразование. Обратное преобразование (7.3) для любого аффинного преобразования (7.1) существует и также является аффинным. Тождественное преобразование является аффинным ( ). Справедливость ассоциативного закона для последовательного осуществления трех любых аффинных преобразований предлагается доказать читателю. Таким образом, множество всех преобразований декартовых систем координат пространства друг в друга представляет собой группу, называемую аффинной группой. Данное свойство делает любые декартовы системы координат в равноправными.

Определяемое фиксированной декартовой системой координат соответствие точек и упорядоченных троек чисел (элементов ) является взаимно-однозначным. Таким образом, произвольная точка представляется упорядоченной тройкой действительных чисел (отнесенной к некоторой декартовой системе координат) с законом преобразования (7.1) при замене декартовой системы координат. Сформулированное предложение составляет суть координатного определения аффинного пространства.