Раздел 6

Воздействие случайных сигналов на линейные стационарные цепи

В гл. 8, 9 излагались методы, позволяющие решать задачи о прохождении детерминированных сигналов через линейные стационарные системы. Последним шагом, завер­шающим теорию линейных систем, является перенесение этих методов в статистическую область.

Предположим, что на входе линейной стационарной системы присутствует колебание x(t), представляющее собой некоторую реализацию случайного процесса X (t). Если эта реализация указана заранее, то никакой новой задачи не возникает — к сигналу x{t) следует относиться как к детерми­нированной, хотя, возможно, очень сложно описываемой функции. Зная математическую модель системы, которая определяется, например, частотным коэффициентом передачи K(jw), можно в принципе всегда найти выходную реак­цию y(t).

Однако специфика статистической теории состоит в том, что столь полные сведения о входном сигнале недоступны — вместо детерминированного описания входного сигнала мы располагаем лишь сведениями об усредненных вероятност­ных характеристиках случайного процесса X(г). Такими характеристиками могут явиться одномерная и многомерные плотности вероятности, а также различные моментные функции, прежде всего математическое ожидание и функция корреляции. Наша цель — исследовать ту связь меж. ,у ста­тистическими характеристиками процессов X (t) и Y(t), кото­рая может быть найдена на основе математической мо­дели системы.

Лекция 15. Спектральный метод анализа воздействия случайных сигналов на линейные стационарные цепи

С самого начала введем ограничение — будем рассматри­вать лишь входные случайные процессы X(t), стационарные в широком смысле. Как_ известно, это означает, что мате­матическое ожидание x{t) мгновенных значений реализаций постоянно во времени, в то время как функция корреляции R_x (t1,t2) = x(ti)x(t₂) — (х)² зависит лишь от величины |т| = = I h — h I — абсолютного сдвига между точками на оси вре­мени, в которых производится измерение мгновенных зна­чений.

В дальнейшем всюду будем полагать x(t) = 0. Это пред­положение не ограничивает общности рассуждений и выво- лов. Благодаря свойству линейности рассматриваемых цепей задача о влиянии постоянной составляющей входного сигнала на выходной отклик системы может быть решена независимо и, что важно, без привлечения статистически, методов.

Среднее значение выходного сигнала. Рассмотрим отдельно взятую реализацию входного сигнала x(t) и представим в виде интеграла Фурье:

Выходной сигнал системы будет найден, если известен ее частотный коэффициент передачи К (/со):

Переходя от отдельной реализации к статистическому ансамблю входных сигналов, следует считать, что S_x(w)-случайная функция, причем (см. гл. 7) предположение о стационарности процесса X(t) накладывает условие: среднее значение спектральной плотности S_x (w) = 0. Поэтому, выпол­няя статистическое усреднение в обеих частях выражения (10.1), имеем

Функция корреляции и спектральная плотность мощности случайного сигнала на выходе системы. Чтобы вычислить 1 функцию корреляции R_y(t), необходимо, помимо спектраль­ ного разложения (10.1), располагать значением выходного | сигнала в момент времени t + т. Это значение можно получить на основании известных свойств преобразования Фурье:

Небольшая (и не принципиальная) деталь, относящаяся к технике вычислений: функция y(t) вещественна, поэтому формула (10.3) не изменится, если в ее правой части перейти к комплексно-сопряженным величинам:

Функцию корреляции выходного сигнала найдем, пере множая сигналы, определенные равенствами (10.1) и (10.4)

а затем проводя статистическое усреднение:

)

На первый взгляд, анализ этой формулы может пока­заться безнадежно сложным. Но следует иметь в виду, что рассматриваемый входной случайный процесс стационарен, поэтому (см. гл. 7) случайные спектральные плотности его отдельных реализаций дельта-коррелированы, т. е.

где W_x (со) — спектр мощности стационарного случайного процесса X(t).

Эта особенность спектра входного сигнала позволяет выяснить очень простой смысл формулы (10.5):

Ф ормула(10.7), по сути дела, содержит полное решение по­ставленной задачи в рамках корреляционной теории: спектр мощности выходного случайного сигнала связан с анало­гичным спектром сигнала на входе соотношением

I В прикладных задачах часто приходится иметь дело с односторонними спектрами N_x(f) и N_y(f), которые определе­ны только при положительных частотах /, измеряемых в герцах. Очевидно, что

поэтому дисперсия выходного сигнала

является результатом суммирования вкладов от спектра мощ­ности входного сигнала, умноженного на зависящий от частоты квадрат модуля коэффициента передачи, т. е. частот­ный коэффициент передачи мощности.

Техника решения конкретных задач из рассматриваемого здесь круга хорошо известна — это всевозможные приемы вычисления интегралов Фурье. Поэтому в нижеследующих примерах внимание будет сосредоточено не столько на математической стороне дела, сколько на обсуждении физи ческих особенностей процессов.

Прохождение случайных сигналов с широким спектром через узкополосные цепи. Шумовая полоса. Часто приходится рассматривать воздействие на линейные частотно-избиратель­ные цепи широкополосных случайных сигналов, образован­ных, например, хаотической последовательностью коротких импульсов. В этом случае если эффективная ширина спектра входного случайного процесса значительно превышает ширину полосы пропускания системы, то реальный случай­ный процесс можно заменить эквивалентным ему белым шчумом с односторонним спектром мощности N₀ = N_x (f₀), где f_о — некоторая точка в пределах полосы пропускания Цепи.

Формула (10.10), определяющая дисперсию выходного сигнала, в этом случае упростится:

В инженерных расчетах линейную частотно-избирател ную цепь, находящуюся под воздействием широкополосно случайного сигнала, удобно характеризовать шумовой полоссой пропускания П_ш (Гц). Она определяется как полоса пропуска ния идеального полосового фильтра с вещественным коэф фициентом передачи К_max, равным максимуму модуля коэффициента передачи реальной цепи; при возбуждении идеальной и реальной систем белым шумом со спектром мощ ности N₀ дисперсии шумовых сигналов на выходах обеих цепей должны совпадать:

Заметим, что для данной системы модуль частотного коэффициента передачи падает в sqrt(2) раз по отношению к максимальному значению при f = О на частоте f₀.₇₀₇ = = 1/(2RC). Поэтому шумовая полоса пропускания оказы­вается шире полосы П₀.₇₀₇:

Аналогично находим шумовую полосу пропускания одно­контурного резонансного усилителя:

Продемонстрируем использование понятия шумовой поло­сы пропускания в радиотехнических расчетах.

Нормализация случайного сигнала на выходе линейной стационарной цепи. Все задачи, которые были рассмотрены ранее, решались в рамках корреляционной теории, т. е. с привлечением моментных функций не выше второго порядка. Более полная постановка проблемы выглядит так: вход­ной случайный процесс задается семейством своих п-мерных плотностей вероятности Требует-

ся, зная частотный коэффициент передачи K(jw), определить аналогичные плотности вероятности процесса на выходе ли­нейной системы.

Решить такую задачу в общем случае весьма сложно, и она в этой книге не рассматривается. Однако часто можно заранее предполагать гауссов характер законов распре­деления выходного сигнала независимо от того, каков вид плотностей вероятности случайного процесса на входе.

Нормализация выходного сигнала наблюдается в любой стационарной линейной системе с достаточно сильно выра-*енной инерционностью. Дело в том, что на основании Формулы Дюамеля мгновенное значение отклика

^{е сть} результат суммирования предшествующих значений входного сигнала x(t), умноженных на сдвинутую импульс ную характеристику цепи. Если протяженность функции h(t) составляет несколько интервалов корреляции входного случайного процесса, то становится применимой центральная предельная теорема (см. гл. 7). Следствием этого является асимптотическая нормальность выходного сигнала.

Любую n-мерную плотность вероятности гауссова случай­ного процесса можно построить, зная лишь функцию кор­реляции.

Поэтому методы корреляционной теории оказываются вполне пригодными для решения многих задач, связанных с прохождением случайных сигналов через линейные ста­ционарные цепи.