Раздел І. Основы теории вероятностей

Теория вероятностей ­– это математическая наука, изучающая закономерности, которые возникают при взаимодействии большого числа случайных факторов.

Предметом изучения теории вероятностей являются специфические закономерности, наблюдаемые в случайных явлениях.

Тема 1. Основные понятия теории вероятностей

План темы

1.1. События и их классификация

1.2. Классификация событий

1.3. Определения вероятности

1.3.1. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности

1.3.2. Геометрическое определение вероятности

1.3.3. Статистическое определение вероятности

1.4. Действия над событиями

1.5. Вопросы и задания для самопроверки

1.1. События и их классификация

При построении любой математической теории, прежде всего, выделяют простейшие понятия, которые принимаются в качестве исходных фактов. Такими основными понятиями в теории вероятностей являются понятие случайного эксперимента, случайного события, вероятности случайного события.

Случайный эксперимент – это процесс регистрации наблюдения за интересующим нас событием, которое осуществляется при условии заданного стационарного (не изменяющегося во времени) реального комплекса условий , включающего в себя неизбежность влияния большого числа случайных (не поддающихся строгому учету и контролю) факторов.

Эти факторы в свою очередь не позволяют делать полностью достоверные выводы о том, произойдет или не произойдет интересующее нас событие. Отметим, что не все случайные эксперименты (явления) можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть многократно воспроизведены в одних и тех же условиях (в рамках того же комплекса условий ).

Приведем несколько примеров случайных экспериментов.

1. Случайный эксперимент, состоящий в подбрасывании идеально симметричной монеты, включает в себя такие случайные факторы, как сила, с которой брошена монета, траектория полета монеты, начальная скорость, момент вращения и т.д. Эти случайные факторы не дают возможности точно определить исход каждого отдельного испытания: «при бросании монеты появится герб» или «при бросании монеты появится решка».

2. Завод «Стальканат» производит испытание изготовленных тросов на максимально допустимую нагрузку. Нагрузка изменяется в некоторых пределах от одного эксперимента к другому. Это обусловлено такими случайными факторами, как микро дефекты в материале, из которых изготовлены тросы, различные помехи в работе оборудования, происходящие при производстве тросов, условия хранения, режим проведения экспериментов и т.д.

3. Производится серия выстрелов из одного и того же орудия по определенной цели. Попадание в цель зависит от многих случайных факторов, к которым относятся состояние орудия и снаряда, установка орудия, мастерство наводчика, погодные условия (ветер, освещенность и т.д.).

Определение. Реализация определенного комплекса условий называется испытанием. Результат испытания называется событием.

Обозначаются случайные события заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C… или заглавной буквой с индексом: .

Например, сдача экзамена при осуществлении заданного комплекса условий (экзамен письменный, включающий рейтинговую систему оценки, и т.д.) – это испытание для студента, а получение определенной оценки – это событие;

проведение выстрела из орудия при осуществлении заданного комплекса условий (погодные условия, состояние орудия и т.д.) – это испытание, а попадание или непопадание в цель – это событие.

Мы можем многократно повторить тот же самый эксперимент в тех же самых условиях. Наличие большого числа случайных факторов, характеризующих условия проведения каждого такого эксперимента, делает невозможным полностью определенного заключения о том, произойдет или не произойдет интересующее нас событие в отдельном испытании. Отметим, что в теории вероятностей такой задачи не ставится.

1.2. Классификация событий

События бывают достоверными, невозможными и случайными.

Определение. Событие называется достоверным, если при заданном комплексе условий оно обязательно наступает.

Все достоверные события обозначаются буквой ( первая буква англ. слова universal-всеобщий)

Примерами достоверных событий являются: появление белого шара из урны, в которой находятся только белые шары; выигрыш в беспроигрышной лотерее.

Определение. Событие называется невозможным, если при заданном комплексе условий оно наступить не может.

Все невозможные события обозначаются буквой .

Например, в евклидовой геометрии сумма углов треугольника не может быть больше , нельзя получить оценку «6» на экзамене при пятибалльной системе оценок.

Определение. Событие называется случайным, если оно может появиться или не появиться при данном комплексе условий.

Например, случайными событиями являются: событие появление туза из колоды карт; событие выигрыш в матче футбольной команды; событие выигрыш в денежно-вещевой лотерее; событие покупка бракованного телевизора и т.д.

Определение. События называются несовместными, если появление одного из этих событий исключает появление любого другого.

Пример 1. Если рассматривать испытание, которое состоит в подбрасывании монеты, то события – появление герба и – появление цифры – события несовместные.

Определение. События называются совместными, если появление одного из этих событий не исключает появления других событий.

Пример 2. Если производится выстрел из трех орудий, то совместными являются события: попадание из первого орудия; попадание из второго орудия; попадание из третьего орудия.

Определение. События называются единственно возможными, если при реализации заданного комплекса условий обязательно должно наступить хотя бы одно из заданных событий.

Пример 3. При бросании кости возможны следующие единственно возможные события:

A₁ – появление одного очка,

A₂ – появление двух очков,

A₃ – появление трех очков,

A₄ – появление четверых очков,

A₅ – появление пяти очков,

A₆ – появление шести очков.

Определение. Говорят, что события образуют полную группу событий, если эти события единственно возможные и несовместные.

События, которые рассматривалось в примерах 1, 3, образуют полную группу, так как они несовместные и единственно возможные.

Определение. Два события, образующие полную группу называются противоположными.

Если - некоторое событие, то противоположное ему событие обозначают .

Пример 4. Если событие выпадение герба, то событие выпадение решки.

Противоположными событиями также являются: «студент сдал экзамен» и «студент не сдал экзамен», «завод выполнил план» и «завод не выполнил план».

Определение. События называются равновероятными или равновозможными, если при проведении испытания все они объективно имеют одинаковую возможность на появление.

Отметим, что равновозможные события могут появляться только в опытах обладающих симметрией исходов, которая обеспечивается специальными методами (например, изготовление абсолютно симметричных монет, игральных костей, тщательная тасовка карт, косточек домино, перемешивание шаров в урне и т.д.).

Определение. Если исходы некоторого испытания единственно возможны, несовместны и равновозможны, то они называются элементарными исходами, случаями или шансами, а само испытание называется схемой случаев или «схемой урн» (так как любую вероятностную задачу для рассматриваемого испытания можно заменить эквивалентной задачей с урнами и шарами различных цветов).

Пример 5. Если в урне 3 белых и 3 черных шара, одинаковых на ощупь, то событие A₁ – появление белого шара и событие A₂ – появление черного шара являются событиями равновероятными.

Определение. Говорят, что событие благоприятствует событию или событие влечет за собой событие , если при появлении событие обязательно наступает.