§ 3. Случайные величины

3.1. Определение и классификация случайных величин

Рассматривая случайные эксперименты, нетрудно заметить, что их результат можно описать с помощью некоторой переменной величины, значения которой зависят от случайных обстоятельств.

Например, при проведении соревнований по стрельбе число попаданий в каждой серии изменяется в зависимости от спортсмена, производящего выстрелы, от погодных условий и т.д.; количество голов в каждом матче чемпионата по футболу зависит от мастерства встречающихся команд, состояния поля и т.д.; число дефектных деталей, обнаруженных при качественном контроле N случайно отобранных изделий при массовом производстве продукции определяется качеством сырья, наладкой станков и т.д. Таким образом, мы приходим к важнейшему понятию теории вероятностей – случайной величине.

Определение. Случайной величиной называется переменная величина, которая принимает свои значения в зависимости от исхода случайного эксперимента, причем каждому исходу соответствует единственное значение случайной величины.

Случайные величины обозначаются большими буквами латинского алфавита X,Y,Z…, а их значения соответствующими малыми буквами с индексами.

Общая классификация возможных типов случайных величин может быть представлена с помощью следующей схемы.

Error: Reference source not found

Определение. Если в качестве результата случайного эксперимента регистрируется одно число, то соответствующую величину называют одномерной или скалярной. Если результатом случайного эксперимента является регистрация целого набора интересующих нас характеристик, то соответствующую случайную величину называют многомерной или векторной.

Определение. Одномерную случайную величину называют дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно (образует последовательность).

Например, случайная величина оценка на экзамене является одномерной, дискретной случайной величиной, т.к. множество ее значений конечно:

.

Определение. Случайная величина называется непрерывной, если множество ее значений бесконечно и полностью заполняет некоторый промежуток: конечный или бесконечный.

Это определение будет уточнено в п.3.3.

Например, случайная величина рост человека, является одномерной, непрерывной случайной величиной, т.к. ее значения полностью заполняют некоторый конечный промежуток, зависящий от конкретного человека.

Рассмотрение случайных величин начнем с дискретной величины.

3.2. Закон распределения дискретной случайной величины

Для того, чтобы задать дискретную случайную величину необходимо и достаточно задать:

1) все возможные значения этой случайной величины;

2) вероятность каждого из этих значений.

Рассмотрим случайную величину , для которой известны все возможные значения Обозначим через вероятность события, состоящего в том, что случайная величина примет значение , т. е.

.

Определение. Законом распределения дискретной случайной величины называется взаимно однозначное соответствие между всеми возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Знание закона распределения случайной величины позволяет решать все задачи, связанные с этой случайной величиной .

Закон распределения дискретной случайной величины может задаваться таблично, графически или аналитически.