3. Развитие динамики

Начало динамики было положено трудами Галилея, который изучал, как рассказывалось выше, движение тела по наклонной плоскости, свободное падение, движение тела, брошенного горизонтально.

Исследованием задач по механике занимался также голландский ученый Христиан Гюйгенс (1629 – 1695).

Одной из конкретных задач, решенных в этот период, была задача о маятнике. Разработка ее была непосредственным образом связана с решением актуальной практической проблемы — точного измерения времени. Такая проблема стояла особенно остро в связи с развитием океанского судоходства. Необходимо было уметь точно определять местонахождения судов, а для этого надо было уметь и точно определять время.

Часы с маятником были построены в середине XVII века Гюйгенсом, который описал устройство этих часов в специальной брошюре, вышедшей в свет в 1658 г., а затем в работе «Качающиеся часы, или о движении маятника», вышедшей в 1673 г. В этом сочинении он изложил разработанные им теории математического и физического маятников.

Здесь Гюйгенс разбирает законы падения тел, а также исследует движение тела по наклонной плоскости. Затем, отправляясь от закона падения тел по наклонной плоскости, он исследует движения материальной точки по дуге циклоиды, применяя при этом методы теории пределов. Следуя этому пути, он установил, что при движении тела по циклоиде, обращенной вершиной вниз, время спуска и подъема (то есть время одного простого колебания) относится ко времени свободного падения по длине оси циклоиды, как окружность круга к своему диаметру.

Таким образом, Гюйгенс доказал, во-первых, изохронность колебаний тела по дуге циклоиды и, во-вторых, определил период такого колебания. Из вывода Гюйгенса получается известная формула для периода колебаний математического маятника.

В этом же сочинении Гюйгенс решает и более трудную задачу – определение периода колебаний физического маятника. Основным принципом, на котором основывается Гюйгенс при решении этой задачи, является частный случай закона сохранения энергии применительно к системе материальных точек, движущихся в поле тяжести. Вот как сам Гюйгенс формулирует этот принцип: «Если любое число весомых тел приходит в движение благодаря их тяжести, то общий центр тяжести этих тел не может подняться выше, чем он был в начале движения».

Здесь Гюйгенс делает новый шаг в развитии учения о невозможности вечного двигателя и о сохранении энергии. Комментируя указанный принцип, он подчеркивает его эвристическое значение и пишет, что с помощью этой гипотезы можно доказать много теорем механики.

Гюйгенс получил формулу периода колебаний физического маятника и определил так называемую приведенную длину физического маятника.

В рассматриваемый период была решена и другая задача динамики — задача об ударе шаров. Законы удара не могли не интересовать ученых того времени. Прежде всего, в практике встречалось много примеров удара тел. Еще Галилей интересовался явлением удара и посвятил этому вопросу целый раздел своих «Бесед» — «шестой день». Однако Галилей не получил положительных результатов в этой области.

Усилению интереса к проблеме удара способствовала философия Декарта. Поскольку для Декарта всякое взаимодействие, в конечном счете, сводилось всегда к давлению, толчку, удару, постольку законы удара имели у него характер фундаментальных законов, лежащих в основе всякого взаимодействия. И действительно, Декарт счел необходимым прибавить законы удара к основным законам движения. Они дополняли у Декарта закон сохранения движения, давая возможность решать вопрос, сколько именно движения переходит от одного тела к другому при взаимодействии; сам закон сохранения движения этого не решал, утверждая лишь, что при переносе движения общее количество его сохраняется.

Несмотря на внимание к этому вопросу, Декарту не удалось установить законы удара. Уже по одному тому, что они должны были бы удовлетворять его неправильному представлению о законе сохранения движения, эти законы также не могли быть правильными. К тому же Декарт не произвел сколько-нибудь серьезного экспериментального и теоретического исследования явления удара, ограничившись, по-видимому, лишь поверхностными наблюдениями. Некоторые законы удара, установленные Декартом, применимы к ударам упругих шаров, другие — для неупругих, а некоторые совершенно неверны.

После исследований Декарта многие ученые взялись за решение проблемы удара, а в 1668 г. Лондонское королевское общество специально предложило своим членам заняться решением этой задачи. Наибольших успехов добились английские ученые Валлис, Гюйгенс, а также Рен, которые на следующий же год прислали свои решения.

Валлис решил задачу центрального удара неупругих шаров. При этом он использовал закон сохранения количества движения, правильно учитывая, что эта величина может иметь как положительное, так и отрицательное значение.

Задачу центрального удара упругих шаров решили Гюйгенс и Рен. Последний, однако, изложил только окончательный результат, самого же вывода не сообщил.

Гюйгенс рассматривает удар двух одинаковых шаров. При этом он опирается на два положения. Первое положение: два упругих шара, движущиеся с равными по величине и противоположно направленными скоростями, после удара отскакивают друг от друга с теми же скоростями, направленными в противоположные стороны. Второе положение является принципом относительности.

Метод доказательства весьма оригинален. Представим себе, что на лодке, плывущей по реке вдоль берега с постоянной скоростью u относительно берега, стоит человек лицом к берегу и в обеих руках держит нити с привязанными к их концам одинаковыми упругими шарами. Пусть теперь человек начинает сближать эти шары с одинаковой по величине скоростью , но противоположной по направлению относительно лодки. Тогда, согласно принципу относительности, явление удара на лодке будет происходить так же, как если бы она не двигалась. Следовательно (по первому положению), столкнувшиеся шары отскакивают друг от друга с теми же скоростями относительно лодки, но в противоположных направлениях. Иное будет наблюдать человек, стоящий на берегу. Для него, если лодка движется направо, левый шар будет двигаться со скоростью , а правый — со скоростью . После удара левый шар будет двигаться со скоростью , а правый— со скоростью , то есть при соударении шары обменяются скоростями.

Затем Гюйгенс переходит к общему случаю двух неравных шаров. Он прежде всего доказывает теорему: «Если сталкиваются два тела, движущиеся навстречу друг другу со скоростями, обратно пропорциональными их величинам (т. е. массам), то каждое тело отскочит с той же скоростью, с какой ударилось». Эта теорема доказывается на основе принципа превращения, говоря современным языком, кинетической энергии в потенциальную. Используя принцип относительности и преобразование координат, Гюйгенс решает общий случай центрального упругого удара.

В связи с теорией удара Гюйгенс касается вопроса о выполнении закона сохранения количества движения. Он показывает, что этот закон в формулировке Декарта, который не учитывал, что количество движения является векторной величиной, неверен. Он даже доказывает теорему: «Когда два тела соударяются, то не всегда сохраняется количество движения, бывшее в обоих до удара, но оно может уменьшиться или увеличиваться».

В теории удара Гюйгенс доказывает также теорему, являющуюся частным случаем закона сохранения кинетической энергии при упругом ударе. Именно, он устанавливает, что «при соударении двух тел сумма произведений из их величин на квадраты их скоростей остается неизменной до и после удара».

Таким образом, Гюйгенс делает новый шаг к установлению закона сохранения энергии применительно к механике.

Следующей важной задачей динамики, послужившей предметом исследования в XVII в. до установления Ньютоном законов механики, была задача движения материальной точки по окружности.

Техника мануфактурного периода доставляла большой материал для изучения вращательного движения. Кроме того, исследование этой задачи было вызвано космогонией Декарта, в которой гипотетическим вращательным движениям — вихрям — отводилась большая роль в образовании солнечной системы и в объяснении движений небесных тел. Вихревая теория Декарта нуждалась в научном анализе и обосновании, и это, в свою очередь, требовало исследования вращательных движений.

Гюйгенс первый рассмотрел движение материальной точки по окружности. Исследования Гюйгенса по этому вопросу были впоследствии изложены в сочинении «О центробежной силе», вышедшем в свет уже после его смерти.

Теории движения материальной точки по окружности Гюйгенс предпосылает некоторые соображения, имеющие принципиальное значение и касающиеся вопроса установления связи между силой и ускорением.

Когда груз висит на нити, то стремление груза падать создает в нити натяжение. Но стремление груза падать определяется ускорением свободного падения, поэтому и натяжение нити будет определяться ускорением груза, с которым он будет падать, оторвавшись от нити. Если груз, привязанный к нити и натягивающий ее, будет двигаться, оторвавшись от нее, с другим ускорением, то и натяжение нити должно быть другим.

Таким образом, между натяжением нити и ускорением груза, оторвавшегося от нити, существует прямая пропорциональная зависимость. Однако, вообще говоря, груз, оторвавшись от нити, вовсе не обязан двигаться так, как движется тело при свободном падении, то есть равноускоренно. Но если взять очень малый промежуток времени, то его движение может быть рассматриваемо как равноускоренное и можно считать, что он будет проходить в очень малые отрезки времени малые пути, относящиеся между собой как 1 :4 :9 и т. д. Таким образом, натяжение нити связано с ускорением оторвавшегося груза в момент отрыва, то есть в очень малый промежуток времени. Используя такого рода соображения, Гюйгенс и находит величину центробежной силы, значение которой, как установил Гюйгенс пропорционально квадрату скорости вращения, «количеству материи» (весу тела) и обратно пропорционально радиусу вращения.

Это исследование Гюйгенса представляет собой интерес, особенно потому, что здесь впервые исследуется движение, которое происходит не под действием силы тяжести. Такое исследование вело к обобщению уже установленных положений механики и играло существенную роль в формировании понятий силы и массы. Здесь Гюйгенс еще более приблизился к установлению связи между силой и ускорением, что подводило к пониманию второго закона механики.

Вопросами механики занимался также Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716), немецкий философ, крупнейший математик и физик XVII в., который был в отличие от большинства своих современников, идеалистом. Он выступал против материализма, в частности, против Декарта.

По Лейбницу, в основе всего существующего лежит не материя, а неделимые субстанции — «монады», являющиеся центрами деятельных сил. В своих научных исследованиях он и пытался найти конкретное выражение этого основного положения своей философии. В механике Лейбниц обратил внимание на трудности, возникшие в связи с законом сохранения движения Декарта, а с другой стороны, на новые результаты, относящиеся к случаям закона сохранения энергии (например, результаты Гюйгенса). Правильно проанализировав и то, и другое, Лейбниц дал свое обобщение в форме закона сохранения живых сил. Этот закон он связал со всей своей философской системой и рассматривал его как подтверждение последней и как опровержение философии Декарта.

В своих сочинениях Лейбниц опровергал закон сохранения движения Декарта, не признавал количество движения мерой движения и выдвинул свою меру движения и свой закон сохранения. Между Лейбницем и его последователями в данном вопросе, с одной стороны, и картезианцами - с другой, разгорелся спор о мере движения и о том, что сохраняется в природе.

Утверждая, что количество движения является мерой движения, картезианцы опирались не только на авторитет Декарта, но и на положение, что сила измеряется, как писал еще Галилей, импульсом, сообщаемым ею. Таким образом, многим казалось естественно действие силы измерять приобретенным количеством движения и считать его мерой или «силой» движения.

Лейбниц рассуждал иначе: «сила» должна измеряться тем действием, которое она может произвести; таким действием является, например, поднятие тела вверх на определенную высоту. Для того чтобы, поднять тело на высоту, вдвое большую, нужно, чтобы оно имело скорость, в четыре раза большую; вообще высота поднятия тела пропорциональна не скорости, а квадрату скорости тела. Отсюда Лейбниц и делал заключение, что «сила» движущегося тела равна не произведению массы на скорость, а произведению массы на квадрат скорости. Эту величину Лейбниц назвал живой силой.

Что касается закона Декарта, то Лейбниц доказывал, что он не выполняется. Он даже показал, что если принять этот закон, то должен существовать вечный двигатель. Закон Декарта справедлив только, если принять, что количество движения может иметь и положительный и отрицательный знак, то есть направление. Этот закон Лейбниц назвал законом сохранения «направления». Лейбниц писал: «Кроме изложенного выше закона природы, по которому сумма сил остается неизменной, существует другой не менее общий и не менее согласный с разумом закон: в телах, связанных друг с другом, а также и во всей природе общее количество направления остается неизменным».

В природе должно сохраняться нечто, сохранение которого абсолютно, утверждал Лейбниц. Этим абсолютным является «сила». «Сила» измеряется произведением массы на высоту, или для тела, упавшего с высоты,— произведением массы на квадрат скорости. Эта величина сохраняется и при соударении шаров, как показал еще Гюйгенс, и должна, вообще говоря, сохраняться в природе. Этот закон сохранения Лейбниц называл законом «сохранения живых сил».

Лейбниц ввел также понятие мертвой силы. Мертвая сила — это «сила», которая не производит движение, а лишь стремление к движению, например, тяжесть, сжатая пружина и т. н. Мертвая сила измеряется мерой Декарта, то есть произведением массы на скорость, именно на ту скорость, которую она сообщила бы телу в первый момент своего действия. Между живыми и мертвыми силами существует определенная связь; живая сила как бы рождается от бесконечного количества непрерывных действий мертвой силы.

Учение о живых силах Лейбниц положил в основу учения о движении, названного им динамикой. В своем сочинении, носящем это название, он и пытался дать общую систему механики, в основе которой лежал закон живых сил.

Заслугой Лейбница является то, что он в своеобразной форме вводит понятие энергии — живой силы — и отделяет его от понятия собственно силы, которую он называет мертвой силой. В развитии учения о сохранении движения в природе Лейбниц продвигается дальше своих предшественников. Однако то обстоятельство, что научные положения Лейбниц связывал со своей идеалистической философией и что понятию силы он придавал идеалистический метафизический смысл, не могло не оттолкнуть передовых ученых того времени. В его правильных представлениях о сохранении (употребляя современный термин) энергии невольно усматривался идеалистический метафизический смысл, а это препятствовало развитию самой идеи.

Первое количественное соотношение в механике – это закон упругости, открытый Робертом Гуком (1635 – 1703). Хотя он и не относится к числу фундаментальных законов, его роль в физике исключительно велика. Законы упругости начал исследовать еще Галилей, Роберт Гук приступил к созданию теории упругости при подготовке так называемых кутлеровских лекций, которые он читал для членов ЛКО. В этот период Р.Гук трудился над созданием спирального регулятора в часах (это частично пересекалось с работами Гюйгенса). В связи с этим он экспериментально изучал упругие свойства пружин. Обобщая полученные в процессе работ данные, Гук открыл закон, который теперь носит его имя: «Каково растяжение, такова и сила», «Каков вес, таково и растяжение». Эти формулировки были даны Гуком в 1678 г. в лекции и проиллюстрированы поведением четырех упругих сил. Сейчас этот закон формулируют следующим образом: «напряжение пропорционально деформации».

В 1674 г. в работе «Попытка доказать движение Земли наблюдениями» Гук изложил свои взгляды на движение небесных тел, которые впоследствии были развиты Ньютоном. Гук первым ясно осознал связь между эллиптическими орбитами планет и законом гравитационной силы, которая обратно пропорциональна квадрату расстояния.

К слову сказать, Гук был разносторонним исследователем и изобретателем (например, барометра, термометра). Он знаменит не только своим законом упругой деформации твердых тел, но и открытием клеточного строения живых существ, именно он ввел в науку термин «клетка».