5. Степени и корни
5.1. Корень n-й степени
Для всякого числа a R определена степень с натуральным показателем an, n N.
Число b R
называется корнем
n-й
степени,
n N,
n 2,
из числа а,
если
обозначают
Нахождение корня n-й степени из данного числа а называют извлечением корня n-й степени из числа а. Число а, из которого извлекается корень n-й степени, называют подкоренным выражением, а число n – показателем корня.
Если
то
определен для всех a R
и принимает любые действительные
значения.
Если
то
определен для всех a 0
(a R).
В курсе элементарной математики
рассматривают арифметическое
значение корня,
т. е. число
Свойства корней
Пусть a, b R, тогда:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
где a 0
в случае
7)
где
в случае
8) Где в случае
Пример 1. Вычислить
Решение. 1-й способ. Выделим полные квадраты подкоренных выражений:
Тогда получим
2-й способ. Обозначим вычисляемое выражение через a, т. е.
Заметим, что
Возведем обе части полученного равенства в квадрат:
Тогда
Поскольку исходное выражение положительно, в ответе получаем a = 4.
Пример 2.
Упростить выражение
Решение. 1-й способ. Используем формулы квадрата разности и суммы, а также свойства корней. Получаем:
2-й способ. При упрощении иррациональных выражений часто бывает эффективным метод рационализации, основанный на замене переменных.
Введем такую замену
переменных, чтобы корни извлеклись:
Заданное выражение приобретает вид
Упрощаем его, используя формулы сокращенного умножения:
Возвращаясь к
старым переменным, приходим к ответу
Пример 3. Избавиться от иррациональности в знаменателе:
1)
2)
3)
Решение. 1) Умножим числитель и знаменатель дважды на сопряженные выражения и воспользуемся формулой разности квадратов:
2) Домножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности и воспользуемся формулой суммы кубов:
3) Умножим числитель и знаменатель дважды на сопряженные выражения:
Задания
I уровень
1.1. Вычислите значения корней:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
1.2. Сравните числа:
1)
и
2)
и
3)
и
4)
и
5)
и
6)
и
7)
и
8)
и 1; 9)
и
10)
и
11)
3 и
12)
и
13)
и
14)
и
1.3. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
1.4. Упростите выражение:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
II уровень
2.1. Упростите выражение:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
2.2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
2.3. Упростите выражение:
1)
2)
3)
4)
