- •5. Степени и корни
- •5.1. Корень n-й степени
- •8) Где в случае
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •5.2. Степень с произвольным действительным
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •5.3. Степенная функция
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •5.4. Иррациональные уравнения
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
III уровень
3.1. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8) 9)
10) 11) 12)
13)
3.2. Упростите выражение:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9)
10)
5.2. Степень с произвольным действительным
показателем
Во множестве R определена степень ax с действительным показателем.
В выражении ax число а называют основанием степени, число x – показателем степени. Нахождение значения степени называют возведением в степень.
Степень с действительным показателем
Пусть a R, тогда:
1) n N;
2)
3)
4) и a 0, если
5) и если то a 0;
6) и если
7) где определяется следующим образом.
Пусть иррациональное число k записано в виде десятичной дроби, – последовательность его десятичных приближений с недостатком (или с избытком). Для любого действительного числа а 0 степень с иррациональным показателем определяется равенством
На множестве R не определены отрицательная и нулевая степень числа 0, а также если
Свойства степеней
Допустим, что a, b, c R и это такие числа, что все степени имеют смысл. Тогда:
1)
2)
3)
4)
5)
6) если a > 1 и x < y, то
если 0 < a < 1 и x < y, то
7) если 0 < a < b и x >0, то
если 0 < a < b и x < 0, то
Пример 1. Вычислить
Решение. Используем свойства степеней
Пришли к ответу:
Задания
I уровень
1.1. Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11) 12)
13) 14)
1.2. Выполните действия:
1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8)
9)
1.3. Найдите из уравнения:
1) 2) 3)
4) 5) 6)
1.4. Упростите выражение
II уровень
2.1. Вычислите:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
2.2. Упростите выражение:
1)
2)
3)
III уровень
3.1. Вычислите:
1)
2)
3)
4)
5)
3.2. Найдите значение выражения:
1) при
2)
5.3. Степенная функция
Функция где х – переменная величина, – заданное число, называется степенной функцией.
Если то – линейная функция, ее график – прямая линия (см. параграф 4.3, рис. 4.7).
Если то – квадратичная функция, ее график – парабола (см. параграф 4.3, рис. 4.8).
Если то ее график – кубическая парабола (см. параграф 4.3, рис. 4.9).
Степенная функция
Это обратная функция для
Область определения:
Множество значений:
Четность и нечетность: функция нечетная.
Периодичность функции: непериодическая.
Нули функции: x = 0 – единственный нуль.
Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.
График функции симметричен графику кубической параболы относительно прямой y = x и изображен на рис. 5.1.
Рис. 5.1
Степенная функция
Область определения:
Множество значений:
Четность и нечетность: функция четная.
Периодичность функции: непериодическая.
Нули функции: единственный нуль x = 0.
Наибольшее и наименьшее значения функции: принимает наименьшее значение для x = 0, оно равно 0.
Промежутки возрастания и убывания: функция является убывающей на промежутке и возрастающей на промежутке
График функции (для каждого n N) «похож» на график квадратичной параболы (графики функций изображены на рис. 5.2).
Рис. 5.2
Степенная функция
Область определения:
Множество значений:
Четность и нечетность: функция нечетная.
Периодичность функции: непериодическая.
Нули функции: x = 0 – единственный нуль.
Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом
Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.
График функции (для каждого ) «похож» на график кубической параболы (графики функций изображены на рис. 5.3).
Рис. 5.3
Степенная функция
Область определения:
Множество значений:
Четность и нечетность: функция нечетная.
Периодичность функции: непериодическая.
Нули функции: нулей не имеет.
Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом
Промежутки возрастания и убывания: функция является убывающей в области определения.
Асимптоты: (ось Оу) – вертикальная асимптота;
(ось Ох) – горизонтальная асимптота.
График функции (для любого n) «похож» на график гиперболы (графики функций изображены на рис. 5.4).
Рис. 5.4
Степенная функция
Область определения:
Множество значений:
Четность и нечетность: функция четная.
Периодичность функции: непериодическая.
Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом
Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на и убывающей на
Асимптоты: x = 0 (ось Оу) – вертикальная асимптота;
y = 0 (ось Ох) – горизонтальная асимптота.
Графиками функций являются квадратичные гиперболы (рис. 5.5).
Рис. 5.5
Степенная функция
Область определения:
Множество значений:
Четность и нечетность: функция не обладает свойством четности и нечетности.
Периодичность функции: непериодическая.
Нули функции: x = 0 – единственный нуль.
Наибольшее и наименьшее значения функции: наименьшее значение, равное 0, функция принимает в точке x = 0; наибольшего значения не имеет.
Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.
Каждая такая функция при определенном показателе является обратной для функции при условии
График функции «похож» на график функции при любом n и изображен на рис. 5.6.
Рис. 5.6
Степенная функция
Область определения:
Множество значений:
Четность и нечетность: функция нечетная.
Периодичность функции: непериодическая.
Нули функции: x = 0 – единственный нуль.
Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом
Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.
График функции изображен на рис. 5.7.
Рис. 5.7
Пример 1. Построить график функции:
1) 2)
Решение. 1) Для построения графика данной функции используем правила преобразования графиков:
строим график функции (он показан на рис. 5.7);
график функции получаем из графика функции путем параллельного переноса его на одну единицу вправо по оси Ох и на две единицы вниз по оси Оу;
график исходной функции получаем из графика функции оставляем ту часть графика, которая находится справа от оси Оу и на оси Оу, другую – отбрасываем (на рис. 5.8 она показана пунктиром). Оставшуюся часть графика дополняем симметричной ей относительно оси Оу (рис. 5.8).
Рис. 5.8
2) Преобразуем функцию к виду Заметим, что График этой функции получаем путем следующих преобразований:
строим график функции
график получаем из предыдущего симметричным отображением относительно оси Оу;
график функции получаем из предыдущего смещением на 4 единицы вправо по оси Ох;
график заданной функции получаем из графика функции параллельным переносом его на две единицы вниз по оси Оу (рис. 5.9).
Рис. 5.9
Задания