Преобраз Лапл:

ф Оригинал, если: f: R-> C (tЄR, f(t)ЄC)

1) f(t)=0 при t<0 2) ∫₀^a|f(t)|dt – f(t)абс интегр на [0,a] a>0

3)Cущ числа M>0, SЄR t>=0: |f(t)|' <=Me^St для t>to

Пр: ф Хевис: X(t)={0,t<0 =1, t>=0}

Св-ва: X(t)=0 при t<0

∫₀^a|X(t)dt| = ∫₀^a1dt = a, |X(t)|=|1|<=2e^0t M=2,s=0,t0=0

Пр2:

f(t)= 2e^3t Cos2t X(t) = {=2e^3t Cos2t , t>0, =0, t<0}

ƒ(t)=f(t)X(t) ={f(t), t>=0, =0 , t<0}

вып св-ва 1)-3)

Пр3: f(t)=X(t)/t: св-во 2) ∫₀^a|X(t)/t|dt=∫₀^adt/t, t>=0:

=lim ∫₀^adt/t = lim ln(t)|_b^a=lim(lna-lnb)=∞ - расход

Пр4: f(t)=e^{t^2} : 3) |f(t)|<=Me^St , |f(t)|/ e^St= M

lim|f(t)|/ e^St = lim e^{t^2} / e^St = lim e^{t^2 - St =}lime^t(t-s) =lim e^∞ =∞

не вып – не ориг

Если F(p) ориг - F(p)= ∫₀^∞f(t)e^-pt dt Изображ

СВ-ва 1) у кажд ориг f(t) есть изобр F(p) ,т.к. если вып усл 1)-3) –то ∫₀^∞f(t)e^-pt dt – сход

2)разн ориг соотв разн изобр. Т о единств Из:

f(t), g(t) –ориг: F(p)=∫₀^∞f(t)e^-pt dt=∫₀^∞g(t)e^-pt dt => f(t)=g(t)

3)Множ всех ориг обр лин простр: люб α,βЄC и ориг f,g

h(t)= αf(t)+βg(t) – оригинал.

Отобр L из простр ориг в простр изобр :

f(t)-> F(p)=∫₀^∞f(t)e^-pt dt наз преобраз Лапласа:

L[f(t)]=F(p) или f(t)÷> F(p)

Св-ва преобраз Лапл:

1)Линейность L: люб α,βЄC, αf+βg -> αF(p)+βG(p)

f(t) -> F(p), g(t)÷> G(p)

2) Теор подоб: люб r>0(rЄR) f(rt)÷> 1/r F(p/r)

3) Теор смещения: люб αЄC e^αtf(t)÷> F(p-α)

f(t-r)={f(t-r),t>=r, = 0 , t<r}=f(t-r)*X(t-r)

4) Т Запаздыв: люб r>0(rЄR) f(t-r)÷> e^-rpF(p)

5) Дифференц ориг: f(t),f'(t),f’'(t)…оригин, то

f(t)÷> F(p), f '(t)÷>pF(p)-f(0), f ''(t)÷> p² F(p)-pf(0)-f '(0)

f⁽ⁿ⁾(t)÷> p⁽ⁿ⁾ F(p)-p^(n-1) f(0)-p ^(n-2)f '(0)…- pf ^(n-2)(0)-f^(n-1)(0)

6) Диффер изображ

f(t) ÷> F(p), тогда (-t)f(t) ÷> F'(p), (-1)ⁿ tⁿ f(t) ÷> F⁽ⁿ⁾(p)

7) Интегрир ориг: ∫₀^t f(τ)dτ ÷> F(p)/p

8) Интгрир изображ:

∫_р^∞ F(z)dz –сход: то f(t)/t ÷>∫_р^∞ F(z)dz

9) Σ e^-(n-1)Tp F1(p)= e^Tp / e^T-1 F1(p)

10) (f*g)(t)÷> F(p)G(p)

11) f(0)g(t)+(f '*g)(t)÷> pF(p)G(p)

Пр: f1(t)= t-(X(t-1)(t-1)+X(t-1))

F1(p)=1/p² – (e^-p1/p² + e^-p1/p)

f2(t)=X(t-1)-X(t-2) , F2= e^-p 1/p - e^-2p 1/p

f(t)=f1+f2, F(p)=F1(p)+F2(p)= 1/p² – e^-p/p² - e^-p/p

+ e^-p /p - e^-2p /p =pe^-2p - e^-p +1 /p²

Изобр периодич ф-ии f(t)= {x}

T=1, fn(t)=f1(t-(n-1)T)=f1(t-(n-1))÷>e^-(n-1)p F1(p)

f(t) = Σfn(t) ÷> Σ e^-(n-1)p F1(p)= F1(p) Σ e^-(n-1)p= F1(p)/1-e^-p =

= F1(p) e^-p /e^-p -1, F1(p)=1/p² –(e^-p /p² + e^-p /p), F=…

Таблица основных оригиналов и изображений.

1 1/p; e^t 1/(p-); tⁿ n!/pⁿ⁺¹; tⁿ e^αt ÷ n!/(p-α)ⁿ⁺¹,

sint /(p²+²); Cost p/(p²+²);

e^αt sint /(p-α)²+ω²; e^αt Cost p-α/(p-α)²+ω²

sht /(p²-²); cht p/(p²-²);

tsint 2p/(p²+²)²; tcost (p²-²)/(p²+²)²;

tsht 2p/(p²-²)²; tcht (p²+²)/(p²-²)².

Свертка функций

f(t), g(t) интегр на люб конечн отр [0,a] or [a,0]:

h(t)=(f*g)(t)=∫₀^t f(u)g(t-u)du – симметричная Оп:

h(t)=(g*f)(t)=∫₀^t f(t-u)g(u)du

Борель(св-во 10) Если f(t) и g(t) оригиналы => их сверт:

(f*g)(t)- оригинал, причем: (f*g)(t)÷>F(p)*G(p)(изображ)

сверт оригин влечет умнож изобр.

Пр: f(t)*g(t)=te^t ÷>1/(p-1)²≠F(p)*G(p), f(t)=t÷>1/p²,

g(t)= e^t ÷>1/p-1, h(t)=(f*g)(t)=∫₀^t(t-u)e^udu=t∫₀^te^udu-∫₀^tue^udu=te^t-t-te^t+0+e^t-1. H(p)=F(p)*G(p)=1/(p-1)+1/p²-1/p

Св-во 11: Дюамеля: f и g оригин, F(p)G(p) их изобр:

pF(p)G(p)<÷f(0)g(t)+(f’*g)(t)=f(t)g(0)+(f*g’)(t)

Пр:F(p)=p/(p²+1)²=p*1/(p²+1)*1/(p²+1)<÷ g(0)g(t)+(f’*g)(t) ={g(t)=h(t)=Sint, g’(t)=Cost}

= Sin0Sint+∫ Cos(t-u)Sinu du=t/2 Sint