- •6. Показательные и логарифмические
- •6.1. Показательная функция, гиперболические
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •6.2. Понятие логарифма и его свойства
- •I уровень
- •7) Если
- •II уровень
- •III уровень
- •6.3. Логарифмическая функция
- •Область определения:
- •Множество значений:
- •Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •6.4. Показательные уравнения,
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •6.7. Логарифмические неравенства
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
I уровень
1.1. Найдите число, логарифм которого по основанию 2 равен:
1) –2; 2) –1; 3) 4) 5) 6) 0;
7) 8) 9) 10) 11) 1; 12) 2.
1.2. Найдите логарифм числа 729 по основанию:
1) 9; 2) 3; 3) 4)
1.3. Найдите логарифм числа по основанию 3:
1) 1; 2) 3; 3) 9; 4) 27;
5) 6) 7) 8)
9) 10) 11) 12)
1.4. Найдите число b, если:
1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8) 9)
1.5. Найдите число а, если:
1) 2) 3)
4) 5) 6)
1.6. Вычислите значение логарифма:
1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8) 9)
10) 11) 12)
1.7. Упростите выражение:
1) 2) 3) 4)
5) 6) 7) 8)
1.8. Вычислите:
1) 2) 3)
4) 5)
1.9. Прологарифмируйте выражение по основанию a:
1) если 2) если
3) если 4) если
5) если 6) если
7) Если
1.10. Выполните потенцирование:
1)
2)
3)
II уровень
2.1. Вычислите:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
2.2. Докажите неравенство:
1) 2)
2.3. Известно, что Выразите через a и b заданный логарифм:
1) 2) 3) 4)
III уровень
3.1. Вычислите:
1) 2)
3) 4)
3.2. Упростите выражение до числа:
3.3. Докажите, что
6.3. Логарифмическая функция
Логарифмической функцией называется функция
Свойства логарифмической функции
Область определения:
Множество значений:
Четность и нечетность: функция не обладает свойством четности.
Периодичность функции: непериодическая.
Нули: функция обращается в нуль при x = 1.
Промежутки знакопостоянства: если то функция положительна для отрицательна для если то функция положительна для отрицательна для
Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
Промежутки возрастания и убывания: если функция убывает для если возрастает для
Асимптоты: прямая x = 0 (ось Oy) – вертикальная асимптота.
График функции для изображен на рис. 6.9, а для на рис. 6.10.
Рис. 6.9 Рис. 6.10
Из свойств функции следует: тогда и только тогда, когда
или
Функция если является обратной для функции при
Функция если является обратной для функции при
Пример 1. Определить знак числа:
1) 2) 3) 4)
Решение. 1) Поскольку основание логарифма больше 1 (а = 7) и значение, стоящее под знаком логарифма, больше 1 (b = 35), то из свойств логарифмической функции
2) Для основания логарифма имеем и для выражения, стоящего под знаком логарифма, выполняется Поэтому
3) Так как основание логарифма 5 и 5 > 1, а выражение, стоящее под знаком логарифма, равно и то
4) Для основания логарифма выполняется а под знаком логарифма число 19 (19 > 1). Поэтому
Пример 2. Сравнить числа:
1) и 2) и
3) и 3.
Решение. 1) Используем тот факт, что логарифмические функции с основанием 11 и 13 монотонно возрастают. Поэтому
Тогда
2) Рассмотрим числа и Так как
и
то
следовательно,
3) Известно, что или
если a 0, b 0.
В нашем случае тогда
т. е.
Пример 3. Установить, между какими последовательными целыми числами находится число
Решение. Поскольку логарифмическая функция с основанием 7 монотонно возрастает, то
Пример 4. Найти функцию, обратную функции Построить графики обеих функций в одной системе координат.
Решение. Найдем функцию, обратную данной:
Построим графики функций:
а) строим график функции график функции переносим параллельно на две единицы вправо по оси Ox и на две единицы вниз по оси Oy;
б) график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой (рис. 6.11).
Рис. 6.11
Задания