72

Министерство образования и науки украины одесский национальный университет имени и.И. Мечникова институт инновационного и последипломного образования

ТЮРИН А.В.

МИРАКЬЯН М.Г.

ЖУКОВ С.А.

ОСНОВЫ

ВЫСШЕЙ

МАТЕМАТИКИ

ЧАСТЬ 2

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ОДЕССА 2009

О Г Л А В Л Е Н И Е

ПРЕДИСЛОВИЕ……………………………………………………………														10
КНИГА 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ……………........................														12
ГЛАВА 1. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО.............................														12
	§1.	ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ………………………….												12
		1.1.		Ограниченные числовые множества………………………..										12
		1.2.		Числовые промежутки. Окрестность точки………………..										13
		1.3.		Предельные точки множества………………………………										14
	§ 2.	СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ………………………………..												15
		2.1.			Табличный способ задания функции……………………….									15
		2.2.			Графический способ задания функции……………………..									15
		2.3.			Аналитический способ задания функции…………………..									15
		2.4.			Неявное задание функции. Алгебраические и трансцендентные функции………………………………….									17
		2.5.			Параметрическое задание функции………………………...									18
	§3.	ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ………………………………………………………….												19
	§4.	ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ……												24
		4.1.		Основные (простейшие) элементарные функции………….										24
		4.2.		Элементарные функции……………………………………...										25
		4.3.		Ограниченные функции……………………………………..										27
		4.4.		Монотонные функции……………………………………….										28
		4.5.		Четные и нечетные функции………………………………..										28
		4.6.		Периодические функции…………………………………….										29
	§5.	ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ……………..												29
		5.1.		Определение и геометрическое истолкование предела последовательности………………………………………….										29
		5.2.		Некоторые теоремы о последовательностях, имеющих предел…………………………………………………………										30
		5.3.		Бесконечно малые последовательности и их свойства……										32
		5.4.		Бесконечно большие последовательности и их свойства…										35
		5.5.		Арифметические операции над последовательностями, имеющими предел……………………………………………										36
		5.6.		Неопределенные арифметические выражения……………..										38
		5.7.		Неопределенные степенно-показательные выражения……										41
		5.8.		Монотонные последовательности…………………………..										42
		5.9.		Принцип сходимости последовательности…………………										43
		УПРАЖНЕНИЯ……………………………………………………..												43
	§ 6.	ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО………………………….												44
		6.1.		Определение и геометрическое истолкование предела функции……………………………………………………….										44
		6.2.		Односторонние и бесконечные пределы функции………..										46
		6.3.		Распространение теории пределов.........................................										49
		6.4.		Примеры на нахождение пределов для некоторых неопределенных выражений....................................................										52
	§7.	КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО………………………….												56
		7.1.		Сравнение бесконечно малых……………………………….										56
		7.2.		Классификация бесконечно больших……………………….										59
		УПРАЖНЕНИЯ……………………………………………………...												59
	§8.	НЕПРЕРЫВНОСТЬ (И РАЗРЫВЫ) ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО…………………………..												60
		8.1.		Определение непрерывности функции в точке…………….										60
		8.2.		Односторонняя непрерывность функции в точке. Функции, непрерывные в промежутке………………………										61
		8.3.		Равномерная непрерывность………………………………..										61
		8.4.		Разрывы функции. Классификация разрывов………………										63
		8.5.		Арифметические операции над непрерывными функциями…………………………………………………….										65
		8.6.		Непрерывность и разрывы монотонной функции………….										66
		8.7.		Непрерывность сложной функции………………………….										67
		8.8.		Непрерывность элементарных функций……………………										68
		8.9.		Общие свойства непрерывных функций……………………										69
		УПРАЖНЕНИЯ……………………………………………………...												70
ГЛАВА 2. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ.................................														71
	§1.	ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ; ТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА n-МЕРНОГО АРИФМЕТИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА……………………………………………………												71
	§2.	СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ……………………………….												72
	§3.	ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ………….												74
		3.1.		Сведение к случаю предела последовательности точек из R^m……………………………………………………………...										75
		3.2.		Повторные пределы…………………………………………										76
	§4.	НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ..												79
		4.1.		Определение непрерывности (разрыва) функции нескольких переменных в точке……………………………										79
		4.2.		Основные свойства непрерывных функций нескольких переменных…………………………………………………..										82
		УПРАЖНЕНИЯ……………………………………………………...												84
ГЛАВА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО..........................														85
	§1.	ПРОИЗВОДНАЯ ЧИСЛОВОЙ ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО……………………….												85
		1.1.		Определение производной. Ее физическая и геометрическая интерпретация…………………………..										85
		1.2.		Вычисление производных для основных элементарных функций……………………………………………………										87
		1.3.		Производная обратной функции………………………….										89
		1.4.		Простейшие правила вычисления производных………...										91
		1.5.		Теорема о непрерывности функции, имеющей производную……………………………………………….										93
		1.6.		Производная сложной функции…………………………..										94
		1.7.		Производная показательно-степенной функции………...										95
		1.8.		Производная неявно заданной функции…………………										96
		1.9.		Производная функции, заданной параметрически………										97
		1.10.		Односторонние производные…………………………….										98
		1.11.		Бесконечные производные………………………………..										99
		1.12.		Таблица основных формул для производных……………										100
	§2.	ДИФФЕРЕНЦИАЛ ЧИСЛОВОЙ ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО…………………………												101
		2.1.		Определение дифференциала и его геометрический смысл……………………………………………………….										101
		2.2.		Основные формулы и правила дифференцирования……										103
		2.3.		Инвариантность формы дифференциала…………………										104
		2.4.		Использование дифференциала для приближенных вычислений…………………………………………………										105
	§3.	ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ЧИСЛОВОЙ ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО…………………………												106
		3.1.		Определение производной n-го порядка…………………..										106
		3.2.		Вычисление производной n-го порядка…………………...										106
		3.3.		Формула Лейбница для n – ой производной произведения двух функций…………………………...........										107
		3.4.		Дифференциалы высших порядков…………………………										108
		3.5.		Параметрическое дифференцирование……………………..										109
	§4.	ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ……………………………………………………...												110
		4.1.		Теорема Ролля (теорема о корнях производной)…………..										110
		4.2.		Формула Лагранжа (формула конечных приращений)……										112
				4.2.1.							Условие постоянства функции…………………...			114
				4.2.2.							Условие монотонности функции…………………			115
		4.3.		Формула Коши (обобщенная формула конечных приращений)…………………………………………………										117
	§5.	ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ…...												118
		5.1.		Раскрытие неопределенностей (Правило Лопиталя)………										118
				5.1.1.				Раскрытие неопределенности вида						118
				5.1.2.				Раскрытие неопределенности вида ……………..						122
				5.1.3.				Раскрытие неопределенностей других видов………						123
		5.2.		Формула Тейлора…………………………………………….										125
		5.3.		Разложение по формуле Тейлора некоторых элементарных функций……………………………………..										128
		5.4.		Интерполяционный полином Лагранжа……………………										131
				5.4.1.				Установление функциональной зависимости……...						131
				5.4.2.				Аппроксимация функций……………………………						137
		5.5.		Исследование функции и построение графика…………….										143
				5.5.1.				Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба..						143
				5.5.2.				Максимумы и минимумы функции…………………						144
				5.5.3.				Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке						148
				5.5.4.				Асимптоты……………………………………………						150
								5.5.4.1.					Вертикальные асимптоты………………...	152
								5.5.4.2.					Горизонтальные асимптоты……………...	152
								5.5.4.3.					Наклонные асимптоты……………………	152
				5.5.5.				Схема исследования функции и построения графика……………………………………………….						154
		УПРАЖНЕНИЯ……………………………………………..............												157
ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ……..................................................................														159
	§1.		ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ…………………………………………………..											159
			1.1.			Определения и обозначения частных производных……..								159
			1.2.			Геометрическое значение частных производных функции двух переменных……...........................................								161
	§2.		ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ........................											163
			2.1.			Дифференцируемые функции многих переменных и их свойства…………………………………………………….								164
			2.2.			Полный дифференциал функции многих переменных….								166
			2.3.			Достаточные условия дифференцируемости функции многих переменных……………………………………….								169
	§3.		КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА………………………………											170
	§4.		ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА……………………………….											173
	§5.		ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ ФУНКЦИЙ……..											177
	§ 6.		ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ……………………….											179
			6.1.			Производная по заданному направлению……………….								179
						6.1.1.				Определение производной по заданному направлению………………………………………				1180
						6.1.2.				Существование и способ вычисления производной по заданному направлению..............				1181
			6.2.			Исследование пространственных кривых………………								183
						6.2.1. Векторное уравнение пространственной кривой								184
						6.2.2. Производная по дуге пространственной кривой...								188
						6.2.3. Кривизна пространственной кривой……………..								191
			6.3.			Скалярное поле. Градиент…………………………………								194
	§ 7.		ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ТЕОРЕМА О НЕЗАВИСИМОСТИ РЕЗУЛЬТАТА ОТ ПОРЯДКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ…………………………											198
	§8.		ПОЛНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДЛЯ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ………………………..											206
	§9.		ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ………………………………………………….											209
	§10.		ЧИСЛОВЫЕ НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО…………………........											212
			10.1.				Определение и примеры неявных числовых функций…………………………………………………							213
			10.2.				Условия существования неявной числовой функции с геометрической точки зрения……………………………							214
			10.3.				Теорема о существовании неявной числовой функции…...........................................................................							216
			10.4.				Теорема о дифференцировании неявной числовой функции…………………………………………………							220
	§ 11.		ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ………											222
			11.1.				Определения. Необходимые условия существования экстремума……………………………………………….							222
			11.2.				Достаточные условия экстремума функции двух переменных……………………………………………….							225
			11.3.				Условный экстремум…………………………………….							232
							11.3.1.					Необходимые условия для существования условного экстремума…………………………		233
							11.3.2.					Метод неопределенных множителей Лагранжа………………………………………..		234
			УПРАЖНЕНИЯ…………………………………………...............											237
ГЛАВА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ….														239
	§1.	Неопределенный интеграл и его свойства………...												239
	§2.	Таблица основных интегралов………………………..												242
	§3.	Основные методы интегрирования функций……..												243
		3.1.		Метод непосредственного интегрирования………………..										243
		3.2.		Метод замены переменной (подстановки) под знаком интеграла……………………………………………………...										244
		3.3.		Метод интегрирования по частям………………………….										247
	§4.	Интегрирование рациональной функции…………..												249
	§5.	Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций………………………………												260
		5.1.		Интегрирование иррациональных функций……………….										262
		5.2.		Подстановки Эйлера…………………………………………										265
		5.3.		Интегралы от дифференциального бинома. Теорема Чебышева…………………………………………………….										270
		5.4		Интегрирование трансцендентных функций………………										274
		Упражнения…………………………………………………………..												279
	§6.	Определенный интеграл……………………………………												280
		6.1.		Определение и геометрический смысл определенного интеграла…………………………………………………….										280
		6.2.		Условия существования определенного интеграла……….										284
		6.3.		Свойства определенного интеграла………………………..										285
		6.4.		Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница…………………………………………..										287
		6.5.		Приближенное вычисление определенных интегралов….										290
	§7.	Некоторые применения определенного интеграла………………………………………………………..												303
		7.1		Определение и вычисление длины дуги кривой………….										303
		7.2.		Вычисление площади плоских фигур……………………..										311
		7.3.		Вычисление объема тел по площадям поперечных сечений……………………………………………………….										314
		7.4.		Вычисление площади поверхности вращения……………..										319
	§8.	Несобственные интегралы………………………………..												321
		8.1.		Несобственные интегралы первого рода…………………...										321
		8.2.		Несобственные интегралы второго рода…………………...										325
		Упражнения……………………………………………..………..…..												328
ГЛАВА 6. ЧИСЛОВЫЕ БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ……………………..														331
	§1.	ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ПРИМЕРЫ………………………………………												331
	§2.	ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ…												334
	§3.	ЧИСЛОВЫЕ Ряды с положительными членами…….												338
	§4.	ДостаточныЕ признакИ сходимости и расходимости рядов с положительными членами…………………………………………………………..												339
		4.1.		Признак, основанный на сравнении двух рядов………...…										339
		4.2.		Признак Даламбера………………………………………….										344
		4.3.		Признак Коши………………………………………………..										347
		4.4.		Интегральный признак сходимости или расходимости ряда……………………………………………………………										348
	§5.	Ряды с произвольными членами………………..............												352
		5.1.		Достаточный признак сходимости рядов с произвольными членами. Абсолютно сходящиеся ряды….										352
		5.2.		Знакопеременные ряды. Признак Лейбница……………….										356
		5.3.		Свойства сходящихся рядов с произвольными членами….										359
		УПРАЖНЕНИЯ……………………………………………………..												361
ГЛАВА 7. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ……………………………….														362
	§1.	Сходящиеся и равномерно сходящиеся ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ряды……………………………………..												362
		1.1.		Определение функционального ряда и его сходимости…..										362
		1.2.		Равномерно сходящиеся функциональные ряды…………..										363
		1.3.		Достаточный признак Вейерштрасса (равномерной сходимости функционального ряда)………………………..										368
	§2.	Непрерывность суммы функционального ряда….												369
	§3.	Интегрирование и дифференцирование Функционального ряда…………………………………….												371
		3.1.		Интегрирование функционального ряда…………………...										371
		3.2.		Дифференцирование функционального ряда………………										372
	§4.	Степенные ряды……………………………………………….												374
		4.1.		Сходимость степенного ряда………………………………..										374
				4.1.1.					Теорема Абеля………………………………………					374
				4.1.2.					Интервал и радиус сходимости степенного ряда…					375
				4.1.3.					Определение радиуса сходимости степенного ряда					379
				4.1.4.					Равномерная сходимость степенного ряда………..					381
		4.2.		Дифференцирование степенного ряда……………………..										382
		4.3.		Интегрирование степенного ряда…………………………..										383
	§5.	Ряды Тейлора и Маклорена. Понятие аналитической функции………………………………….												384
		5.1.		Аналитические функции…………………………………….										385
		5.2.		Разложение в ряд Маклорена функции e^x…………………..										388
		5.3.		Разложение в ряд Маклорена функций sin x, cos x………...										391
		5.4.		Разложение в ряд Маклорена функции ln(1+x)										393
		5.5.		Разложение в ряд Маклорена функции arctgx										396
		5.6.		Разложение в ряд Маклорена функции (1+x)^α										398
	§6.	Ряды с комплексными членами………………………..												401
		6.1.		Предел последовательности комплексных чисел………….										401
		6.2.		Сходимость ряда комплексных чисел………………………										402
		6.3.		Степенной ряд комплексных чисел…………………………										403
		6.4.		Разложение показательной функции e^z комплексного переменного z в степенной ряд. Формулы Эйлера………...										406
		УПРАЖНЕНИЯ……………………………………………………..												410

П Р Е Д И С Л О В И Е

Современный уровень развития науки приводит к тому, что в сферу университетского образования включается все больше специальностей, которые раньше носили прикладной (технический) характер. В первую очередь к таким специальностям следует отнести специальности в области компьютерных наук. Особенности подготовки студентов в университете по этим специальностям вызывают необходимость ускоренного изучения курса высшей математики, по объему, приближающемуся к университетскому. Именно такую задачу и ставит перед собой данное учебное пособие по высшей математике, которое предназначено для студентов университетов, специализирующихся в области компьютерных наук. В нем читатель найдет много отлично разработанных страниц, так как курс общей математики не может быть трудом оригинальным. Причина этого в том, что курс осуществляет первый контакт с новыми знаниями и предназначен для лиц, завершивших свое школьное образование и владеющих лишь основами элементарной математики. Особенностью данного пособия является также единый методологический подход к изложению всего курса по высшей математике, заключающийся в том, что основные математические понятия вытекают из общих понятий и из логических концепций со следующим распределением материала.

Курс разделен на пять книг.

Книга 1 содержит несколько логических концепций, элементарных понятий, относящихся к множествам и операции над ними (объединение, пересечение, разность, произведение), а также основные математические понятия, а именно: понятие функции или отображения; понятие n – мерного арифметического пространства. Рассмотрены взаимно однозначные отображения арифметических пространств R¹, R², R³ во множество точек геометрического пространства при помощи декартовой прямоугольной системы координат. Даны понятия числовых функций одного и многих действительных переменных, а также их графиков.

Книга 2 отводится для линейной алгебры. Из фундаментального понятия отображения вводятся понятия внутренних и внешних законов композиции. Рассмотрены условия, при которых действия этих законов на множестве превращает их в группы, кольца, поля и векторные пространства. Изучены: поле комплексных чисел; кольцо многочленов; векторное пространство многочленов; векторное пространство свободных векторов в геометрическом пространстве; векторы в n – мерном арифметическом пространстве. Особое внимание уделено изоморфизму векторных пространств R³ и свободных векторов в геометрическом пространстве. Из понятий векторного пространства и линейного отображения одного векторного пространства в другое проистекают понятия матриц, определителей и системы линейных уравнений. Отдельной главой рассмотрено приведение матриц, путем замены базиса к более простой форме. Сравнительно подробно, это демонстрируется для приведения квадратной матрицы к диагональному виду, а квадратичной формы к каноническому виду.

Книга 3 содержит круг понятий аналитической геометрии требуемых программой: уравнения прямой на плоскости и в пространстве; уравнения плоскости; кривые и поверхности второго порядка, уравнения кривых и поверхностей второго порядка приводятся к каноническому виду с использованием квадратичных форм. Эти геометрические понятия выступают как непосредственное приложение книги 2 или как перенесение результатов этой самой книги на язык геометрии, так как это сделано в ней для свободных векторов в геометрическом пространстве.

Книга 4 посвящена математическому анализу. Рассмотрены числовые функции одного и многих действительных переменных. Для этих функций введены понятия: предела и непрерывности; дифференциального и интегрального исчисления. Большое внимание уделено числовым методам вычисления и прикладным аспектам дифференциального и интегрального исчисления. Заканчивается книга изложением числовых и функциональных рядов.

В книге 5 собраны главы, относящиеся к понятиям, носящих технический характер на уровне курса общей математики, – это дифференциальные уравнения и ряды Фурье.

Изложение теоретического материала сопровождается наглядными примерами и решением типовых задач, что значительно облегчает усвоение теоретических положений, а также развивает навыки практического их использования. С целью закрепления учебного материала предлагаются упражнения для самостоятельной работы.

КНИГА 4

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й А Н А Л И З