417

Глава 7 функциональные ряды

§1. Сходящиеся и равномерно сходящиеся функциональные ряды

1.1. Определение функционального ряда и его сходимости

Пусть на сегменте [a,b] оси Ox задана последовательность числовых функций u₁(x), u₂(x),…, u_n(x),…, действительного переменного x тогда, соединяя члены этой последовательности знаком плюс, получим выражение называемое функциональным рядом

(или ). (7.1)

Возьмем произвольное числовое значение х = х₀ из [a,b] и подставим его в функциональный ряд (7.1). В результате получится числовой ряд u₁(x₀) + u₂(x₀) +… + u_n(x₀) +…, который может сходиться или расходиться. Если числовой ряд сходится (абсолютно сходится) в каждой точке сегмента [a,b], то функциональный ряд (7.1) называется сходящимся (абсолютно сходящимся) в сегменте [a,b]. В этом случае функциональный ряд имеет сумму в каждой точке [a,b], и в соответствии с понятием функции, сумма ряда (7.1) есть некоторая функция от х, которую для каждой точки х сегмента [a,b] будем обозначать через S(x) и записывать S(x) = u₁(x) + u₂(x) +… + u_n(x) +… =

Рассмотрим усеченную сумму функционального ряда (7.1) порядка n: S_n(x) = u₁(x) + u₂(x) +… + u_n(x). Тогда, предположение о том, что ряд (7.1) сходится в сегменте [a,b] и имеет сумму, равную S(x) означает, что для каждого фиксированного х из [a,b] и для любого наперед заданного числа , можно указать такое натуральное число N, выбор которого, вообще говоря, зависит и от ε и от х, что при всех выполняется неравенство . Другими словами, для сходящегося ряда должно выполняться предельное равенство .

В связи с рассмотрением функциональных рядов возникает ряд вопросов. Для лучшего выяснения сущности этих вопросов, сделаем ряд подготовительных замечаний.

Прежде были установлены следующие три положения:

1. Сумма конечного числа функций, непрерывных в сегменте [a,b] есть также непрерывная функция в этом же сегменте;

2. Интеграл от суммы конечного числа функций интегрируемых в сегменте [a,b] равен сумме интегралов от каждой слагаемой функции;

3. Производная от суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных от каждой слагаемой функции.

Весьма удобно было бы распространить эти три положения на сходящиеся функциональные ряды. Это дало бы возможность изучать свойства функциональных рядов, используя методы математического анализа.

Возникают, следовательно, три таких вопроса:

1. При каких условиях сумма сходящегося ряда непрерывных функций в сегменте [a,b] также является непрерывной в [a,b] функцией?

2. Когда интеграл от суммы ряда, сходящегося в сегменте [a,b] равен сумме ряда интегралов по сегменту [a,b] от каждого члена ряда в отдельности (возможность почленного интегрирования ряда)?

3. Когда производная от суммы ряда равна сумме ряда, составленного из производных от членов данного ряда (возможность почленного дифференцирования ряда)?

Важный шаг в решении поставленных трех вопросов, состоит во введении понятия равномерно сходящегося в сегменте [a,b] функционального ряда.