2.4. Неявное задание функции. Алгебраические и трансцендентные функции
Пусть заданы два числовых множества P R и E R с элементами xP и yE и пусть x и y связаны между собой уравнением, которое, если все его члены перенести влево, имеет вид
F(x,y) = 0. (1.1)
Если для каждого значения x из P существует значение y из E, которое совместно с x удовлетворяет уравнению (1.1), то этим задается функция y = f(x), определенная на множестве P и со значениями в E, для которой равенство F[x,f(x)] = 0 имеет место уже тождественно относительно x. В этом случае говорят, что функция y = f(x) задана посредством уравнения (1.1) или неявно, а саму функцию f называют неявной. Она становится явной, если рассматривается непосредственная зависимость y от x, заданная аналитическим выражением.
Возьмем, например, выражение
3x3 + 4xy – 1 = 0. (1.2)
Оно определяет y как функцию от x в промежутках (–∞ и +∞ а именно
. (1.3)
И если вместо y подставить в уравнение (1.2) эту функцию, то получится тождество.
Здесь удалось найти для f(x) очень простое аналитическое выражение через x и тем самым функцию y = f(x), заданную неявно уравнением (1.2), удалось представить и в явном виде аналитической формулой (1.3). Однако неявная форма задания функции часто вызывается невозможностью задания закона функциональной зависимости в явном (аналитическом) виде. Например, функцию, заданную уравнением ey + y – 2x = 0, записать в явном виде невозможно. Поэтому неявная форма задания функции является более общей, чем явная. Действительно, любую явно заданную функцию y = f(x) всегда можно записать в неявном виде y – f(x ) = 0.
Конкретное
уравнение (1.1) неявно может задавать не
одну, а несколько функций f1,
f2,
....,
fn
, определенных на одном и том же множестве
P.
Например: уравнению
x2
– y2
= 0
удовлетворяют четыре функции y
= x,
y = –x,
y = |x| и
y = –|x|,
т.е.
каждая из этих функций при подстановке
ее в уравнение превращает его в тождество
относительно x;
уравнение x2
+ y2
– a2
= 0
неявно
задает две функции
и
,
а уравнение x
– sin
y
=
0
неявно задает бесчисленное множество
функций, определенных на сегменте
[–1, 1] и со значениями в сегментах [ k k, где k = 0, ,..
В простейшем случае, когда уравнение (1.1) – алгебраическое, т.е. когда левая часть этого уравнения является многочленом относительно x и y
gn(x)yn + gn-1(x)yn-1 +...+ g1(x)y + g0(x) = 0, (1.4)
где gn(x),…, g0(x) – некоторые многочлены от x; определяемая им неявная функция f : xy называется алгебраической. Если степень уравнения (относительно y) не выше четырех, то алгебраическая функция допускает явное выражение в радикалах; при степени выше четырех такое выражение возможно, лишь в виде исключения.
Функция, не являющаяся алгебраической, называется трансцендентной.
Примеры
алгебраических функций:
и т. п.
Трансцендентных:
и т. п.
2.5. Параметрическое задание функции
Пусть даны три числовых множества R, E R, T R с элементами х, уЕ, tT и две функции и такие, что х = (t), у = (t).
Пусть, кроме того, отображение взаимно однозначно, т.е. для функции х = (t) существует обратная функция t = –1(х). Тогда легко видеть, что и у оказывается функцией от х: y = ( –1(х)) = f(x).
В этом случае говорят, что функция у = f(x) задана параметрически; переменная t называется параметром, а выражения х = (t) и у = (t) – параметрическими уравнениями.
При
параметрическом задании функции f
можно, не восстанавливая непосредственной
зависимости у
от х
так, как это было сделано выше, получить
уравнение F(x,y)
= 0,
которое будет определять функцию у
= f(x)
неявно. Для этого необходимо из выражений
х
= (t)
и у
= (t)
исключить параметр t.
Например, пусть функция у
= f(x)
задана
параметрическими уравнениями
и
,
где ch t
и sh t
–
гиперболические функции, соответственно
косинус и синус (см.
гл.1 §4, п.4.2).
Определим отсюда ch t
и sh t
затем
возведем обе части этих уравнений в
квадрат и вычтем:
(см.
гл.1, §4, п.4.2).
Полученное
уравнение
и есть то уравнение, которое неявно
задает функцию у = f(x).
Это,
как известно, уравнение гиперболы.
Отсюда и происходит название
«гиперболические функции».