- •Глава 7 функциональные ряды
- •§1. Сходящиеся и равномерно сходящиеся функциональные ряды
- •1.1. Определение функционального ряда и его сходимости
- •1.2. Равномерно сходящиеся функциональные ряды
- •1.3. Достаточный признак Вейерштрасса (равномерной сходимости функционального ряда).
- •§2. Непрерывность суммы функционального ряда
- •§3. Интегрирование и дифференцирование Функционального ряда
- •3.1. Интегрирование функционального ряда
- •3.2. Дифференцирование функционального ряда
- •§4. Степенные ряды
- •4.1. Сходимость степенного ряда
- •4.1.1. Теорема Абеля
- •4.1.2. Интервал и радиус сходимости степенного ряда
- •4.1.3. Определение радиуса сходимости степенного ряда
- •4.1.4. Равномерная сходимость степенного ряда
- •4.2. Дифференцирование степенного ряда
- •4.3. Интегрирование степенного ряда
- •§5. Ряды Тейлора и Маклорена. Понятие аналитической функции
- •5.1. Аналитические функции
- •5.2. Разложение в ряд Маклорена функции ex
- •5.3. Разложение в ряд Маклорена функций sin X, cos X
- •5.5. Разложение в ряд Маклорена функции arctgx
- •§6. Ряды с комплексными членами
- •6.1. Предел последовательности комплексных чисел
- •6.2. Сходимость ряда комплексных чисел
- •6.3. Степенной ряд комплексных чисел
- •6.4. Разложение показательной функции ez комплексного переменного z в степенной ряд. Формулы Эйлера
- •Упражнения
5.5. Разложение в ряд Маклорена функции arctgx
Здесь исходной будет сходящаяся в интервале (–1,+1) геометрическая прогрессия
. (7.98)
Пусть x – произвольная точка из интервала (–1,+1): –1 < x <+1. Рассмотрим сегмент [0,x] (или [x,0], если x < 0), который целиком лежит в интервале (–1,+1) и потому, равенство (7.98) можно почленно интегрировать.
В результате несложных интегрирований получаем
. (7.99)
Ряд в правой части (7.99), также как и исходный ряд в правой части (7.98), имеет радиус сходимости равный единице. Поэтому вне сегмента [–1,+1], разложение (7.99) не действительно. Остается проверить справедливость (7.99) в точках x = +1 и x = –1. В силу нечетности обеих частей равенства (7.99) достаточно установить его справедливость при x = +1.
Заменяя в разложении (7.88) x через x2, получаем
. (7.100)
Интегрируя почленно в сегменте [0,1] последнее равенство, находим
.
Отсюда, после вычисления интегралов имеем
. (7.101)
Исследуем остаточный член формулы (7.101)
(7.102)
Из последнего равенства получаем .
Отсюда следует
. (7.103)
Таким образом, в точке х = +1 функция arctg x аналитическая и для нее в этой точке имеет место разложение
. (7.104)
Из (7.104) следует, что разложение (7.99) справедливо при x = +1. В силу нечетности левой и правой части (7.99) справедливость (7.104), а, следовательно, и разложения (7.99) распространяется и на точку x = –1.
Итак, равенство (7.99) выполняется при .
Рассмотрим, как можно использовать разложение (7.99) для вычисления числа π. Для этого обозначим через φ такой угол, что
(7.105)
После этого найдем tg 2φ и tg 4φ:
; .
Для tg 4φ получилось значение, которое мало отличается от единицы. Поэтому 4φ незначительно отличается от . Обозначим разницу через :
(7.106)
и вычислим tg ψ
. (7.107)
Из (7.105) и (7.107) находим .
Подставляя эти значения в (7.106), получаем
. (7.108)
Полагая в (7.99) и , находим
, (7.109)
. (7.110)
Отметим, что ряды в правых частях равенств (7.109) и (7.110) быстро сходятся и, следовательно, их очень удобно использовать для приближенного вычисления. Подставляя эти ряды в равенство (7.108), получим формулу для приближенного вычисления числа π
. (7.111)
Если в формуле (7.111) принять в расчет только выписанные члены рядов, то допущенную при таком вычислении ошибку ρ легко оценить.
По следствию из принципа Лейбница, при вычислении сумы ряда (7.109) с помощью первых четырех членов ряда допускается ошибка, которая меньше, чем первый отброшенный член . При вычислении суммы ряда (7.110), когда ее полагают равной первым двум членам, возникает ошибка, которая меньше, чем третий отброшенный член .
На основании изложенного ошибка ρ меньше, чем
.
Следовательно, ошибка при вычислении числа π по приближенной формуле составляет 0 < ρ <·10−6. Если в этой формуле вычисление каждого слагаемого вести до седьмого десятичного знака, то получим, причем верными являются, лишь первые пять десятичных знаков.
5.6. Разложение в ряд Маклорена функции (1+x)α
Для разложения в ряд Маклорена функции
(7.112)
где α – произволное действительное число будем пользоваться формулой Маклорена с остаточным членом Rn+1(x) в форме Коши (глава 3, §5, п.5.2, формула (3.50), при условии, что х0 = 0)
, (7.113)
где 0 < θ < 1. Найдем последовательные производные функции (7.112)
Отсюда получаем
Подставляя найденные значения в (7.113), приходим к равенству
(7.114)
Если α есть натуральное число: α = n, то остаточный член в (7.114), содержащий множитель α – n, обращается в нуль и в этом случае равенство (7.114) превращается в бином Ньютона
Поэтому в дальнейшем полагаем, что α ≠ 0, 1, 2,… и исследование равенства (7.114) для этих α начнем с определения радиуса сходимости R степенного ряда
. (7.115)
Для этого применим формулу .
Здесь .
Значит и, следовательно,
.
Таким образом, степенной ряд (7.115) сходится при –1 < x < +1 и расходится при . Поэтому в дальнейшем считаем
–1 < x < +1. (7.116)
Для исследования остаточного члена в равенстве (7.114)
где 0 < θ < 1,
представим его несколько иначе
. (7.117)
Теперь рассмотрим по отдельности поведение всех трех сомножителей в правой части (7.117): и при n→+∞.
Радиус сходимости степенного ряда (7.115) не зависит от величины параметра α, поэтому, если в (7.115) заменить α через α – 1, то степенной ряд
(7.118)
также имеет радиус сходимости равный 1. Это означает, что для всех х в интервале –1 < x <+1 общий член ряда (7.118) при n → +∞ имеет своим пределом число нуль
. (7.119)
При соблюдении неравенства (7.116) имеем и отсюда .
Множитель αx(1+θx)α-1 остаточного члена (7.117) зависит от n, так как θ зависит и от x и от n. Но этот множитель ограничен, так как при любых значениях n он находится между величинами αx и αx(1+x)α-1, которые от n не зависят.
Таким образом, первый множитель остаточного члена Rn+1(x) в формуле (7.117) для всех х из интервала (–1,1) при n→+∞ в силу (7.119) имеет своим пределом нуль, а второй и третий множитель ограничены. Поэтому для всех х из интервала (–1,1) выполняется предельное равенство .
Следовательно, функция (7.112) в точке х = 0 аналитическая и для нее в интервале (–1,1) справедливо разложение
. (7.120)
Ряд в правой части (7.120) называется биномиальным рядом.
Рассмотрим частные случаи разложения функций с использованием биномиального ряда.
Интегрируя последнее разложение в сегменте [0,x], получаем
.
В заключение приводится таблица, показывающая характер сходимости биномиального ряда на концах интервала сходимости.
|
х = –1 |
|
х = +1 |
α ≥ 0 |
АБСОЛЮТНО СХОДИТСЯ |
α ≥ 0 |
АБСОЛЮТНО СХОДИТСЯ |
α <0 |
РАСХОДИТСЯ |
–1<α<0 |
НЕАБСОЛЮТНО СХОДИТСЯ |
|
|
α ≤ –1 |
РАСХОДИТСЯ |
Биномиальный ряд, в частности, может быть использован для вычисления корней с любой наперед заданной степенью точности. Пусть, например, нужно вычислить . Последовательно получаем
Беря нужное число членов получившегося ряда, смотря по требуемой степени точности, вычисляем приближенное значение .