§10. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Число
называется корнем кратности k
для многочлена
если
можно представить в виде
где
- многочлен (степени n-k)
и
Любой многочлен степени
можно
представить единственным образом в
виде произведения
где
- кратности корня
(вообще говоря комплексные),
при
Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
(1)
где
- непрерывная функция на
,
Фундаментальная система решений, соответствующего линейного однородного уравнения может быть найдена следующим образом. Рассмотрим многочлен
(2)
называемым характеристическим многочленом уравнения
.
Уравнение
(3)
называется характеристическим уравнением
линейного уравнения. Уравнение (3) имеет
n корней с учетом их
кратности (т.е. каждый корень считается
столько раз, какова его кратность). Если
- действительный корень кратности
,
то ему соответствует
линейно независимых решений вида
.
Если
- два комплексно сопряженных корня (у
нас
действительные числа) кратности
,
то им соответствует
линейно независимых решений уравнения
вида
(каждая последующая пара решений отличается от предыдущей умножением на ). Перебирая таким образом корни характеристического уравнения, мы получим ФСР однородного уравнения.
При нахождении частного решения неоднородного уравнения кроме выше указанных способов (см. §9) можно воспользоваться методом подбора, когда правая часть уравнения имеет специальный вид квазимногочлена
,
(4)
где
и
-
многочлены степени n и m
соответственно. Тогда частное решение
неоднородного уравнения (1) ищется в
виде
(5)
Где
-
кратность контрольного числа правой
части (1)
как корня характеристического уравнения
(3) (
,
если
не корень характеристического уравнения),
и
многочлены степени
,
коэффициенты которых могут быть найдены
методом неопределенных коэффициентов
путем подстановки
в уравнение (1).
Таким образом, любое неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами всегда может быть проинтегрировано.
Пример 1. Найти вид частного решения уравнения
(6)
где:
Решение. Характеристическое уравнение
имеет корни:
кратности 2,
кратности 1. Поэтому ФСР имеет вид
и значит общее решение линейного
однородного уравнения
имеет вид
где
- произвольные постоянные.
Найдем вид частного решения линейного неоднородного уравнения (6) для случаев а)-е).
а) Контрольное число
(
смотри
(4)) – корень характеристического
уравнения кратности 2. Поэтому
и
значит
б) Контрольное число - корень характеристического уравнения кратности 2. Поэтому и значит
.
(7)
в) Контрольное число
является
корнем характеристического уравнения
кратности 1. Поэтому
и
значит
г) Контрольное число
не является корнем характеристического
уравнения. Поэтому
и значит
.
д) Контрольное число
не
является корнем характеристического
уравнения. Поэтому
и значит
е)Контрольное число
не является корнем характеристического
уравнения. Поэтому
и значит
(если смотреть на формулу (4), то в этом
случае
.
Пример 2. Найдем общее решение уравнения (6) в случае б).
Решение. Подставив (7) в (6), получим:
откуда, приравнивая коэффициенты при
степенях
(в силу линейной независимости функций
),
получаем систему для определения
(8)
Из (8) находим
Значит
Отсюда получаем общее решение
уравнения (6) в случае б)
Пример 3. Найти общее решение однородного уравнения и вид частного решения уравнения
(9)
где
Решение. Характеристическое уравнение
имеет корни
кратности 1, так что ФСР состоит из
функций
и
и значит
.
(10)
а) Контрольное число
не является корнем характеристического
уравнения. Поэтому
и значит
б) Контрольное число
не является корнем характеристического
уравнения. Поэтому
и значит
в) Контрольное число
не является корнем характеристического
уравнения. Поэтому
и значит
г) Контрольное число
не является корнем характеристического уравнения. Поэтому и значит
д) Контрольное число
является корнем характеристического уравнения кратности 1. Поэтому и значит
.
(11)
е) Контрольное число
является корнем характеристического уравнения кратности 1. Поэтому и значит
Вид частного решения в случаях д) и е)
один и тот же, хотя коэффициенты
и
будут разные.
Пример 4. Найти общее решение уравнения (9) в случае д).
Решение.
Подставляя выражение для
и ее производных в исходное уравнение
(9), и сокращая на
,
будем иметь (коэффициенты, содержащие
должны сократиться)
Приравнивая коэффициенты при
и
(линейно независимые функции), получаем
и
т.е.
и значит
Общее решение данного уравнения будет
Пример 5. Решить уравнение
(12)
Решение. Характеристическое уравнение
имеет корень
кратности 2 и поэтому общим решением
соответствующего однородного уравнения
будет
(ФСР состоит из функций
и
).
Для нахождения частного решения
уравнения (12) найдем частное решение
двух уравнений
Уравнение (13) имеет частное решение
вида
(контрольное число
не является корнем характеристического
уравнения, поэтому
).
Подставляя выражение
в уравнение (12), получим
Отсюда
,
так что
Частное
решение уравнения (14) ищем в виде
(контрольное число
является корнем характеристического
уравнения кратности 2, поэтому
).
Подставляя
в уравнение (12), получим
Отсюда
,
так что
Частное решение уравнения (12) ищем методом суперпозиции в виде суммы частных решений и уравнений (13) и (14)
.
Общее решение уравнения (12) будет иметь вид
.
Пример 6. Найти решение задачи Коши
Решение. Находим общее решение уравнения (15). Находим общее решение соответствующего однородного уравнения
Характеристическое уравнение
имеет корни
и
кратности
1. Поэтому
Частное решение неоднородного уравнения (15) ищем в виде
Контрольное число является корнем характеристического уравнения кратности 1; поэтому
. Подставляя в уравнение (15), получим
.
Отсюда получаем
и
.
Следовательно
Общее решение уравнения (15) имеет вид
(17)
Для решения задачи Коши требуется
определить значение постоянных
и
так, чтобы решение (17) удовлетворяло
начальным условиям (16). Используя условие
,
получаем
.
Дифференцируя (7), найдем
.
Отсюда, в силу условия
,
будем иметь
.
Для отыскания
и
получим систему
,
решая которую находим
.
Подставляя найденные значения произвольных
постоянных в общее решение (7), находим
решение задачи Коши
или
Пример 7. Решить уравнение
. (18)
Решение. Соответствующее однородное уравнение имеет вид
.
Его характеристическое уравнение
имеет корни
и,
следовательно, общее решение однородного
уравнения имеет вид
.
(19)
Частное решение исходного уравнения ищем методом вариации произвольных постоянных в виде
(20)
где
и
-
неизвестные функции от
.
Для их нахождения составим систему (см.
§ 9 система (5))
.
Решая эту систему (например, по формулам Крамера) находим
.
Отсюда получаем
где
- произвольные константы. Берем
(поскольку мы ищем частное решение).
Подставляя
в
(20), получаем
.
Отсюда получаем общее решение уравнения (18)
Задачи. Найти общее решение дифференциального уравнения или решение задачи Коши.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
.
22.
23.
.
