Алгебраические свойства векторного произведения

1. EMBED Equation.3

2. EMBED Equation.3

3. EMBED Equation.3

4. EMBED Equation.3 для любого вектора EMBED Equation.3 , так как вектор EMBED Equation.3 коллинеарен сам себе.

Если два вектора EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 определены своими декартовыми прямоугольными координатами EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 , то векторное произведение этих векторов имеет вид

_{EMBED Equation.3} (8.2)

или же _{EMBED Equation.3} (8.3)

Пример 8.1. Упростить выражение

EMBED Equation.3 .

Решение. Пользуясь формулой и свойствами векторного произведения получаем

_{EMBED Equation.3 .}

Пример 8.2. Вычислить площадь треугольника с вершинами A(-1,0,2), B(1,-2,5), C(3,0,-4).

Решение. Находим сначала координаты векторов EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 : _{EMBED Equation.3} , EMBED Equation.3 .

Координаты векторного произведения EMBED Equation.3 определяем по формуле:

EMBED Equation.3 .

Получаем EMBED Equation.3 .

Находим площадь треугольника

_{EMBED Equation.3}

Вопросы для самопроверки

1.Что называется векторным произведением?

2. Каков геометрический смысл векторного произведения?

3. Как векторное произведение выражается через координаты сомножителей?

4. При решении каких задач используется векторное произведение?

Задачи для самостоятельного решения

1. Векторы EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 взаимно перпендикулярны. Зная, что EMBED Equation.DSMT4 = 3, EMBED Equation.DSMT4 = 4, вычислить: 1) EMBED Equation.DSMT4 ;

2) EMBED Equation.DSMT4 .

2. Даны векторы EMBED Equation.DSMT4 = {3; -1; -2} и EMBED Equation.DSMT4 = {1; 2; -1}. Найти координаты векторных произведений: 1) EMBED Equation.DSMT4 , 2) EMBED Equation.DSMT4 , 3) EMBED Equation.DSMT4 .

3. Найти векторное произведение векторов EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3

4. .Упростить выражение: EMBED Equation.3

5. Векторы EMBED Equation.3 связаны соотношениями EMBED Equation.3 . Доказать, что векторы EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 коллинеарны.

6. Даны точки A (1; 2; 0), B (3; 0; -3), и C (5; 2; 6). Вычислить площадь треугольника АВС.

7. Даны вершины треугольника A (1; -1; 2), B (5; -6; 2), и C (1; 3; -1).. Найти длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.

8. Вычислить синус угла, образованного векторами

EMBED Equation.DSMT4 = {2; 2; 1} и EMBED Equation.DSMT4 = {2; 3; 6}.

9. Вектор EMBED Equation.DSMT4 перпендикулярный к векторам

EMBED Equation.DSMT4 = {4; -2; -3} и EMBED Equation.DSMT4 = {0; 1; 3}, образует с осью Оу тупой угол. Зная, что EMBED Equation.DSMT4 = 26, найти его координаты.

10. Вектор EMBED Equation.DSMT4 перпендикулярный к оси Oz и к вектору

EMBED Equation.DSMT4 = {8; -15; 3}, образует с осью Ох острый угол. Зная, что

EMBED Equation.DSMT4 = 51, найти его координаты.

11. Найти вектор EMBED Equation.DSMT4 , зная, что он перпендикулярен к векторам EMBED Equation.DSMT4 = {2; -3; 1} } и EMBED Equation.DSMT4 = {1; -2; 3} и удовлетворяет условию EMBED Equation.DSMT4 ( EMBED Equation.DSMT4 )= 10.

Ответы: 1. 1) 24, 2) 60. 2. 1) { 5; 1;7 }, 2) { 10; 2; 14}, 3)

{ 20; 4; 28}. 3. EMBED Equation.3 4. EMBED Equation.3 .

6. 14. 7. 5. 8. sin φ = EMBED Equation.DSMT4 9. { -6; -24; 8}. 10. { 45; 24; 0}. 11. { 7; 5; 1}.

Занятие 9. Смешанное произведение трех векторов

Пусть даны три вектора EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 . Если вектор EMBED Equation.3 векторно умножается на EMBED Equation.3 , а затем получившийся вектор EMBED Equation.3 скалярно умножается на вектор EMBED Equation.3 , то получается число, называемое смешанным произведением векторов EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .

Теорема. Смешанное произведение EMBED Equation.3 равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 , взятому со знаком (+), если тройка EMBED Equation.3 правая, и со знаком (-) , если тройка EMBED Equation.3 левая. Если же векторы EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 компланарны, то EMBED Equation.3 .

Следствие 1. Справедливо равенство

_{EMBED Equation.3} .

Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Следствие 3. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю. (Такие три вектора заведомо компланарны).

Теорема. Если три вектора EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 определены своими декартовыми прямоугольными координатами EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , то смешанное произведение EMBED Equation.3 равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов, то есть

_{EMBED Equation.3} (9.1)

Пример 9.1. Доказать, что векторы EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 компланарны.

Решение. Найдем смешанное произведение этих векторов по формуле:

_{EMBED Equation.3} .

. Это и означает, что векторы EMBED Equation.3 компланарны.

Пример 9.2. Даны вершины тетраэдра: EMBED Equation.3 (0, -2, 5), EMBED Equation.3 (6, 6, 0), EMBED Equation.3 (3, -3, 6), EMBED Equation.3 (2, -1, 3). Найти длину его высоты, опущенной из вершины EMBED Equation.3 .

Решение. Найдем сначала объем тетраэдра EMBED Equation.3 . По формуле получаем:

_{EMBED Equation.3}

Так как определитель равен отрицательному числу, то в данном случае перед формулой нужно взять знак минус. Следовательно, EMBED Equation.3 .

Искомую величину h определим из формулы EMBED Equation.3 , где S – площадь основания. Определим площадь S: _{EMBED Equation.3}

где EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

Поскольку EMBED Equation.3

_{EMBED Equation.3}

то EMBED Equation.3

Подставляя в формулу EMBED Equation.3 значения EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 , получим h=3.

Пример 9.3. Образуют ли векторы EMBED Equation.3 базис в пространстве ? Разложить вектор EMBED Equation.3 по базису векторов EMBED Equation.3 .

Решение. Если векторы образуют базис в пространстве, то они не лежат в одной плоскости, т.е. являются некомпланарными. Найдем смешанное произведение векторов EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 ,

следовательно векторы некомпланарны и образуют базис в пространстве. Если векторы образуют базис в пространстве, то любой вектор EMBED Equation.3 можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов , а именно EMBED Equation.3 ,

где EMBED Equation.3 координаты вектора EMBED Equation.3 в базисе векторов EMBED Equation.3 . Найдем эти координаты, составив и решив систему уравнений

EMBED Equation.3 .

Решая ее методом Гаусса, имеем

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Отсюда EMBED Equation.3 . Тогда EMBED Equation.3 .

Таким образом, EMBED Equation.3 .