16 1. Гипербола.

Гиперболой называется геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (её обозначают через 2а), причем эта постоянная меньше расстояния между фокусами. Поместив фокусы гиперболы в точках F₁(с; 0) и F₂(-с;0), получаем уравнение гипер­болы в виде EMBED Equation.3 ,

г де b²=c²-a²;

это простейшее (каноническое) уравнение гиперболы. Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно осей координат. Точки А₁(а;0) и А₂(-а;0) называются вершинами гиперболы.

Отрезок А₁А₂=2а называют вещественной осью гиперболы, а отрезок В₁В₂=2b – мнимой осью (рис. 15).

Прямая называется асимптотой гиперболы, если расстояние точки гиперболы М (х;у) от этой прямой стремится к нулю при х→+∞ или х→-∞. Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых EMBED Equation.3 .Для построения асимптот гиперболы строят осевой прямоугольник гиперболы со сторонами х=а,

х = - а, у=b, у=-b. Прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника, являются асимптотами гиперболы. На чертеже указано взаимное расположение гиперболы и ее асимптот. Отношение ε EMBED Equation.3 называется эксцентриситетом гиперболы.

Если а=b, то уравнение гиперболы принимает вид

х²- у² = a².

Такая гипербола называется равнобочной.

Уравнение

EMBED Equation.3 (или EMBED Equation.3 )

также является уравнением гиперболы, но вещественной осью этой гиперболы служит отрезок оси Оу длины 2b.

Две гиперболы EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 имеют одни и те же полуоси и одни и те же асимптоты; но вещественная ось одной служит мнимой осью другой, и наоборот. Такие две гиперболы называются сопряженными.

Пример 16.1. Эксцентриситет гиперболы равен EMBED Equation.3 . Соста­вить простейшее уравнение гиперболы, проходящей через точку М( EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ).

Решение. По определению эксцентриситета можем написать равенство EMBED Equation.3 , или с²=2а². Но с² = а²+ b², следовательно, а² + b² = 2а², или а²= b², т. е. гипербола равнобочная.

Другое равенство имеем из условия нахождения точки М на гиперболе, т. е. EMBED Equation.3 , или EMBED Equation.3 . Поскольку а²=b², получим EMBED Equation.3 , т.е. а²=1.

Таким образом, уравнение искомой гиперболы имеет вид х²- у²=1.

16.2. Парабола.

Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Если директрисой параболы EMBED Equation.3 является прямая EMBED Equation.3 , а фокусом - точка EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ,0), то уравнение параболы имеет вид

EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . (16.1)

Эта парабола расположена симметрично относительно оси абсцисс (рис.6, где р EMBED Equation.3 0).

Уравнение EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 (16.2) EMBED Equation.3

является уравнение параболы, симметричной относительно оси ординат. При p>0 параболы (16.1) и (16.2) обращены в положительную сторону соответствующей оси, а при p<0 - в отрицательную сторону. Длина фокального радиуса-вектора параболы EMBED Equation.3 определяется по формуле EMBED Equation.3 .

Пример 16.2. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси EMBED Equation.3 , с вершиной в начале координат, если длина некоторой хорды этой параболы, перпендикулярной к оси Ох, равны 16, а расстояние этой хорды от вершины равно 6.

Решение. Поскольку известны длина хорды и расстояние ее от вершины, то, следовательно , известны координаты конца этой хорды-точки М, лежащей на параболе. Уравнение параболы имеет вид EMBED Equation.3 ; пологая в нем EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , находим EMBED Equation.3 ,откуда EMBED Equation.3 .

Таким образом, уравнение искомой параболы EMBED Equation.3 .

Пример 16.3. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Оу и отсекающей на биссектрисе EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 координатных углов хорду длиной EMBED Equation.3 .

Решение. Искомое уравнение параболы EMBED Equation.3 , уравнение биссектрисы EMBED Equation.3 . Следовательно, точками пересечения параболы с биссектрисой будут О(0;0) и М(2р;2p).

Длина хорды определяется как расстояние между двумя точками EMBED Equation.3 откуда EMBED Equation.3 .Следовательно , уравнение искомой параболы имеет вид EMBED Equation.3 .