6.2. Декартова прямоугольная система координат
Реальное пространство, которое мы будем изучать, называется трехмерным R3. Каждая точка в нем определяется тройкой действительных чисел. Плоскость – R2.
Декартова прямоугольная система координат представляет собой три взаимно перпендикулярные оси в пространстве с общим началом О и одинаковой масштабной единицей:
ось Оx – ось абсцисс;
ось Оy – ось ординат;
ось Оz – ось аппликат.
Направление
осей координат можно задать единичными
векторами (ортами) EMBED Equation.3
,
EMBED Equation.3
,
EMBED Equation.3
.
Возьмем
произвольную точку М.
Вектор EMBED Equation.3
называется радиус-вектором точки М:
EMBED Equation.3
.
Радиус-вектор, в свою очередь, определяет
некоторый вектор EMBED Equation.3
,
который можно переносить в пространстве
параллельно самому себе. Найдем проекции
вектора EMBED Equation.3
на оси координат: очевидно, что
EMBED
Equation.3
Такая картинка называется разложением вектора EMBED Equation.3 по трем координатным осям. Проекции радиус вектора EMBED Equation.3 на координатные оси обозначим через x, y, z.
Координатами точки М в пространстве называются проекции вектора EMBED Equation.3 на соответствующие координатные оси: M(x, y, z).
EMBED
Equation.3
Пользуясь
свойствами проекций, с помощью единичных
векторов EMBED Equation.3
,
EMBED Equation.3
,
EMBED Equation.3
можно записать: EMBED Equation.3
;
EMBED Equation.3
;
EMBED Equation.3
.
Тогда
EMBED
Equation.3
или EMBED Equation.3
.
(6.1)
Проекции вектора на координатные оси называются координатами вектора.
Таким
образом, три числа x,
y,
z,
с одной стороны, являются координатами
точки М,
с другой – координатами радиус-вектора
этой точки. Равенство (6.1) – основное
равенство векторной алгебры. Его называют
разложением вектора EMBED Equation.3
по координатным осям (по базису EMBED
Equation.3
,
EMBED Equation.3
,
EMBED Equation.3
).
Система координат в пространстве устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками пространства и тройками упорядоченных чисел (или радиус-векторами).
Обозначим
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
,
EMBED Equation.3
- углы наклона вектора EMBED Equation.3
к осям Ox,
Oy,
Oz.Числа
EMBED Equation.3
,
EMBED Equation.3
,
EMBED Equation.3
принято называть направляющими
косинусами
вектора EMBED Equation.3
.
Из определения проекций пол4учим
EMBED
Equation.3
;
EMBED Equation.3
;
EMBED
Equation.3
(6.2
EMBED Equation.DSMT4 Учитывая, что EMBED Equation.3 - диагональ прямоугольного параллелепипеда, имеем определение длины вектора через его координаты
EMBED
Equation.3
(6.3)
EMBED
Equation.DSMT4
(6.4)
Из системы (7.4) следует, что сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна 1
EMBED
Equation.3
Вектор
однозначно определяется заданием его
длины и
трех направляющих косинусов.