- •1.1. Понятие определителя
- •Пусть дана матрица
- •1.2. Основные свойства определителя
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.1. Определения
- •2.2. Решение систем линейных уравнений
- •2.3. Однородные системы
- •2.4. Действия над матрицами
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.1. Вычисление ранга матрицы
- •Матрица (3.1) имеет ступенчатый вид, где embed Equation.3 , * - некоторые числа.
- •3.2. Вычисление обратной матрицы
- •3.3. Матричная форма системы уравнений.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.1. Понятие вектора
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.1. Проекции вектора на ось. Свойства проекций
- •6.2. Декартова прямоугольная система координат
- •6.3. Действия над векторами в координатах.
- •6.4. Координаты вектора
- •6.5. Условие коллинеарности векторов в координатной форме.
- •6.6. Деление отрезка в данном отношении.
- •6.7. Разложение вектора по базису
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Алгебраические свойства скалярного произведения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Пример 8.1. Упростить выражение
- •Находим площадь треугольника
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для самопроверки
- •10.1. Общее уравнение плоскости.
- •10.2. Нормальное уравнение плоскости.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •11.1. Уравнение плоскости в отрезках.
- •11.2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •11.3. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •12.1. Общее и канонические уравнения прямой в пространстве.
- •12.2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
- •12.3. Параметрические уравнения прямой.
- •12.4.Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •13.1. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости.
- •13.2. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
- •13.3. Условие принадлежности прямой к плоскости. Пересечение прямой и плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.1. Общее уравнение прямой.
- •14.2. Каноническое уравнение прямой.
- •14.3. Параметрические уравнения прямой.
- •14.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •14.5. Угол между двумя прямыми.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •15.2. Эллипс.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •16 1. Гипербола.
- •16.2. Парабола.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Типовые расчеты
- •Правила выполнения и оформления типовых расчетов
- •1 . Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений
- •2. Векторная алгебра
- •Аналитическая геометрия
- •4. Аналитическая геометрия на плоскости
- •2.15. Через точку м (2,-1) провести прямую, параллельную прямой embed Equation.3
- •5. Кривые второго порядка
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
10.2. Нормальное уравнение плоскости.
Зададим вектор EMBED Equation.3 в прямоугольной системе координат, EMBED Equation.3 имеет начало в точке О. Через EMBED Equation.3 проведем плоскость EMBED Equation.3 перпендикулярную к EMBED Equation.3 . Произвольную точку плоскости обозначим Q(х, у, z); EMBED Equation.3 - радиус – вектор.
П усть р = | EMBED Equation.3 | - длина вектора EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 - единичный вектор направленный в ту же сторону, что и вектор EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 = (cosa, cosb, cosg),
где a,b,g - углы, образуемые вектором EMBED Equation.3 с положительным направлением осей х, у, z
Проекция любой точки Q Î p на вектор EMBED Equation.3 , есть величина постоянная, равная р:
( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ) = р (р ³ 0) (10.3)
Получили уравнение плоскости в векторной форме.
В координатах (10.3) записывается:
xcosa +уcosb +zcosg = EMBED Equation.3 , ( EMBED Equation.3 ³ 0) (10.4)
Это – нормальное уравнение плоскости; где EMBED Equation.3 – длина перпендикуляра опущенного из начала координат на плоcкость.
Произвольное уравнение в общем виде (10.1) можно привести к нормальному виду, умножив его на число
t = ± 1/ EMBED Equation.3 , где знак берется противоположным знаку EMBED Equation.3 .
Тогда EMBED Equation.3
Здесь вектор EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 единичный ê EMBED Equation.3 ê= 1, его проекции на оси координат равны EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 . Таким образом
xcosa + уcosb + zcosg = р , (р ³ 0) , т.е. получим уравнение плоскости в нормальном виде.
Из этого уравнения мы можем узнать расположение плоскости относительно системы координат.
Точка М(х, у,z) лежит на плоскости, тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют уравнению (10.4).
Если же точка не лежит на плоскости, то
хcosa +уcosb +zcosg - р = d
d есть отклонение точки М от плоскости. Отклонение d - есть число (+ EMBED Equation.3 ), где d - расстояние от точки до плоскости, если точка EMBED Equation.3 и начало координат лежат по разные стороны от плоскости. И EMBED Equation.3 , если EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 лежат по одну сторону от плоскости
EMBED Equation.DSMT4 . (10.5)
Расстояние от точки до плоскости равно EMBED Equation.3 .
Пример 10.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку EMBED Equation.3 перпендикулярно вектору EMBED Equation.3 .
Решение. Так как плоскость перпендикулярна вектору EMBED Equation.3 , то он является вектором нормали для искомой плоскости. Применяя формулу (10.2), для плоскости, проходящей через заданную точку, получаем EMBED Equation.3 . Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем искомое уравнение плоскости 4x-5y+7z=0 .
Пример 10.2. Дан тетраэдр с вершинами: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Найти длину высоты, опущенной из вершины EMBED Equation.3 на грань EMBED Equation.3 .
Решение. Искомая высота равна расстоянию от точки EMBED Equation.3 до плоскости, проходящей через точки EMBED Equation.3 Составим уравнение этой плоскости:
EMBED Equation.3 .
Раскрывая определитель по первой строке, получаем EMBED Equation.3 . Раскрывая скобки и приводя подобные, получаем EMBED Equation.3 .
По формуле (10.5) находим расстояние от точки EMBED Equation.3 до плоскости:
EMBED Equation.3 .
Пример 10.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(3;-1;-5) и перпендикулярной плоскостям EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 .
Решение. Так как плоскость перпендикулярна двум данным плоскостям, то ее вектор нормали EMBED Equation.3 также перпендикулярен нормальным векторам EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 . Следовательно,
EMBED Equation.3 Далее, используя уравнение плоскости, проходящей через данную точку М(3;-1;-5) перпендикулярно вектору
EMBED Equation.3 , получаем EMBED Equation.3 , или EMBED Equation.3
Пример 10. 4. Привести к нормальному виду уравнение плоскости 2х+Зу-6z+21=0. .
Решение. Находим нормирующий множитель (знак которого «минус», поскольку D = 21>0);
EMBED Equation.3
Итак, нормальное уравнение заданной плоскости имеет вид
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Пример 10.5. Определить расстояние от точки М(3;5;-8) до плоскости EMBED Equation.3 —3y + 2z — 28 = 0.
Решение. Используем формулу расстояния от точки до плоскости
EMBED Equation.3
Находим: EMBED Equation.3
(Результат подстановки отрицателен; таким образом, заданная точка и начало координат лежат по одну сторону от данной плоскости.)
Пример 10.6. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M(2;3;-1) параллельно плоскости
EMBED Equation.3
Решение. Напишем уравнение плоскости, проходящей через данную точку:
А(х—2) +В (у—3)+С(z+1) = 0.
Чтобы искомая плоскость была параллельна данной плоскости, необходимо выполнение условия
EMBED Equation.3
Отсюда следует, что A = 5t, B = -3t, C = 2t. Следовательно, уравнение искомой плоскости примет вид
5t(x-2)-3t(y-3)+2t(z+1)=0,
или
5x-3y+2z+1=0
Нетрудно видеть, что с самого начала можно принять
А = 5, В= —3, С = 2.
Пример 10.7.. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(2: -1; 5) и перпендикулярной к плоскостям Зх-2y + z+7 = 0 и 5x—4y+3z+ 1=0.
Решение. Запишем уравнение искомой плоскости в виде
A(x-2)+B(y + 1)+C(z - 5)=0.
Так как плоскость перпендикулярна к заданным плоскостям, то должны выполняться условия
EMBED Equation.DSMT4 Исключив из системы уравнений
EMBED Equation.DSMT4 ЗА - 2В+С = 0,
коэффициенты A, В, С (пользуемся тем, что система трех линейных однородных уравнений с тремя неизвестными A, В и С имеет ненулевое решение, так как плоскость, удовлетворяющая поставленным условиям, существует всегда), получаем уравнение искомой плоскости в виде
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 =0 или x+2y+z-5=0
Пример 10.8.. Вычислить расстояние между параллельными плоскостями х- 2y -2 z-12 = 0 и х- 2y -2 z-12 .
Решение. На первой плоскости выберем точку M(x;y;z).Две координаты можно выбрать произвольно, а третья определится из уравнения плоскости. Пусть х=0; y=0: тогда z=6. Расстояние между параллельными плоскостями будет равно расстоянию от точки M(0;0;6) до второй плоскости. Воспользуемся формулой расстояния от точки до плоскости (10.5).
Получим EMBED Equation.3