Министерство образования Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Ростовский Государственный Университет

Е.Р.Ляликова, Л.И.Спинко, С.В.Фоменко

Дифференциальное исчисление функций

нескольких переменных.

Методические указания для студентов 1-го курса

дневного отделения экономического факультета РГУ

Ростов-на-Дону 2004

Печатается в соответствии с решением кафедры математического анализа Ростовского государственного университета, протокол № 7 от 9 марта 2004 года.

Рецензент: доцент С.В.Фоменко

До сих пор мы рассматривали функции, значения которых зависят от значений одной переменной. При рассмотрении многих вопросов естествознания приходится иметь дело с такими зависимостями между переменными величинами, в которых числовые значения одной из них определяются значениями нескольких других. Так, например, площадь прямоугольника со сторонами, длины которых равны и , определяется значениями двух переменных и , а объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами -- значениями трех переменных . Примеров таких зависимостей можно привести много.

I Понятие функции двух и более переменных, область определения функции

Определение. Совокупность упорядоченных пар действительных чисел называется двумерным координатным пространством, где - первая координата, - вторая координата точки этого пространства.

Если расстояние между двумя точками и определяется по формуле , то это двумерное пространство называется евклидовым пространством и обозначается (вся плоскость XOY). Аналогично определяются трехмерное евклидово пространство , …, - n-мерное евклидово пространство.

Определение функции двух переменных.

Если каждой точке множества по некоторому правилу ставится в соответствие одно вполне определенное действительное число , то говорят, что на множестве определена числовая функция двух переменных и пишут или . Множество называют областью определения функции .

Способы задания функции двух переменных, как и в случае одной переменной, могут быть различными. В примерах мы будем использовать аналитический способ задания, когда функция задается с помощью формулы. Областью определения функции в этом случае считается множество всех точек плоскости, для которых эта формула имеет смысл.

Рассмотрим примеры функций двух переменных.

1. . Область определения этой функции – множество , то есть вся плоскость XOY.

2. . Областью определения данной функции является множество всех точек, для которых выражение определено, то есть множество точек, для которых , или . Множество всех таких точек образует

круг с центром в начале координат и радиусом, равным единице.

3. . Область определения этой функции – множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству , то есть множество точек, лежащих вне круга радиуса 1 и с центром в начале координат.

Если вместо множества точек плоскости взять множество точек пространства, в котором каждая точка имеет три координаты , то аналогично можно дать определение функции трех переменных или . Областью определения функции трех переменных является все трех мерное пространство или его часть. Аналогично можно ввести понятие функций четырех и вообще n переменных . Однако области определения таких функций уже не имеют наглядного геометрического истолкования.

Заметим, что между функциями одной и функциями нескольких переменных имеются существенные различия. В то же время, переход от двух переменных к большему их числу, как правило, не представляет затруднений. Поэтому обычно мы будем подробно рассматривать только случай функций двух переменных.

Примеры для самостоятельного решения

Найти области определения следующих функций двух функций и изобразить их на плоскости:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. .

II Частные производные функции нескольких переменных

Перенесем на функции нескольких переменных основные понятия дифференциального исчисления функций одной переменной, а, именно, понятия производной и дифференциала. Для функций нескольких переменных придется определять несколько производных, точнее, столько производных, сколько независимых переменных у данной функции.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Придадим переменной приращение , а значение переменной менять не будем, то есть перейдем на плоскости от точки к точке ( таково, что точка принадлежит окрестности точки М). При этом значение функции также изменится. Назовем это изменение частным приращением функции по переменной : .

Аналогично можно составить частное приращение по переменной :

.

Определение. Если существует конечный предел

,

то он называется частной производной по переменной (по переменной ) от функции в точке .

Частные производные обозначаются одним из следующих символов: , или , или , или . Если нужно явно указать, в какой точке вычислена частная производная, то пишут, например, так: , или .

Из определения следует, что частная производная функции двух переменных равна обычной производной функции одной переменной, полученной при условии, что вторая независимая переменная сохраняет постоянное значение. Следовательно, правила и формулы отыскания частных производных те же, что и правила и формулы обычных производных функций одной переменной.

Найти частные производные следующих функций:

Пример 1. .

Функция определена в области . Фиксируя переменную , находим частную производную по переменной : .

Фиксируя переменную , получаем частную производную по переменной :

.

Пример 2. .

Функция определена при условии . Фиксируя переменную , находим частную производную по переменной : .

Фиксируя переменную , получаем частную производную по переменной :

.

Пример 3. . Доказать, что .

Функция определена при . Найдем частные производные:

.

.

Проверим, справедливо ли равенство, для этого вычислим величину выражения , подставив туда найденные частные производные:

,

то есть действительно равенство верно.

Пример 4. . Доказать, что .

Функция определена при .

. Вычислим:

.

Следовательно, равенство верно.

Можно ввести понятие частной производной порядка выше первого. Так как частные производные и какой-либо функции двух переменных сами являются, вообще говоря, функциями двух переменных, то от них опять можно брать частные производные по и . Результат дифференцирования называется частной производной второго порядка (или просто второй частной производной). Если от взять частную производную по , то есть вычислить , то результат обозначается или . От частной производной можно взять частную производную по : . Результат дифференцирования называется смешанной частной производной второго порядка и обозначается: или .

Таким же образом можно вычислить частные производные второго порядка и , полученные от дифференцирования частной производной по и по соответственно.

Справедливо утверждение: если смешанные частные производные, отличающиеся порядком дифференцирования, непрерывны, то они не зависят от порядка дифференцирования, то есть .

Пример 5. Найти частные производные второго порядка функции .

Найдем частные производные первого порядка:

;

.

Находим частные производные от этих:

;

;

.

Так как смешанная производная второго порядка непрерывна на , то она не зависит от порядка дифференцирования, то есть .

Можно определить и производные более высоких порядков. Так для функции можно написать восемь частных производных третьего порядка:

(или ), , шестнадцать частных производных четвертого порядка и так далее.

Если рассматривать функцию трех переменных , то для нее имеем три частные производные первого порядка , девять частных производных второго порядка и так далее.

Заметим, что смешанные производные любого порядка при условии их непрерывности не зависят от порядка дифференцирования, например .