Задачи для самостоятельного решения
Найти условные экстремумы функции относительно заданного уравнения связи:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
;
11.
;
12.
;
13.
;
14.
;
15.
.
VII Наибольшее и наименьшее значения функции
Для функции, непрерывной на ограниченном замкнутом множестве Е, существуют на этом множестве точки, в которых она принимает наибольшее и наименьшее значение (теорема Вейерштрасса).
Если эти точки лежат внутри множества, то они являются точками экстремума функции и их следует искать среди стационарных точек или точек, где не существуют частные производные. Однако, своего наибольшего (наименьшего) значения функция может достигать и на границе множества.
Таким образом, для отыскания наибольшего (наименьшего) значения функции на множестве Е необходимо:
а) найти все стационарные точки функции , лежащие внутри Е;
б) найти все точки внутри множества Е, где не существуют частные производные;
в) во всех найденных точках вычислить значения функции и сравнить их со значениями функции на границе.
Наибольшее (наименьшее) из этих значений и будет наибольшим (наименьшим) значением функции на множестве Е.
Пример 1. Найти набольшее и наименьшее значения функции
внутри круга
.
Для отыскания стационарных точек имеем систему уравнений (заметим, что во всех точках внутри круга данная функция имеет частные производные):
Из этой системы
уравнений найдем следующие стационарные
точки, лежащие внутри круга:
.
Далее,
.
Выясним, какие значения
принимает функция в точках окружности
.
На окружности
.
Исследуя на
и
функцию одной переменной, получим, что
наименьшее значение на окружности равно
-6 и достигается
в точках
,
а наибольшее значение равно 15
и достигается в точках
.
Искомые наибольшее и наименьшее значения
равны 15 и
-6 и достигаются
на границе области.
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
внутри круга
.
Найдем внутренние
стационарные точки:
.
Имеем:
-- точка, являющаяся внутренней точкой
заданного множества,
.
Будем искать
стационарные точки на границе, то есть,
исследуем функцию
при условии связи
.
Для нахождения точек, в которых возможно
достигается наибольшее и наименьшее
значения, составим функцию Лагранжа:
.
Найдем ее стационарные точки, удовлетворяющие условию связи, то есть решим систему:
а)
б)
Отсюда
Вычислим во всех найденных точках значения функции:
.
Итак,
;
.
Примеры для самостоятельного решения
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
;
11.
;
12.
;
13.
;
14.
.
Литература
В.А.Кудрявцев, Б.П.Демидович. Краткий курс высшей математики.— М: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1986 г.
Л.Д.Кудрявцев, А.Д.Кутасов, В.И.Чехлов, М.И.Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных. 1994 г.
В.С.Шипачев. Задачник по высшей математике. – Москва. «Высшая школа».
2003 г.
В.П.Минорский. Сборник задач по высшей математике. – Москва. «Наука». 1971 г.